Post powstał przy współpracy z firmą Stevia Automation Sp. z o. o.

Na pewno słyszałeś kiedyś, że komputery wykorzystują w swoich obliczeniach tylko znaki „0” i „1”. System bazujący na tych znakach nazywamy systemem dwójkowym inaczej binarnym. Wiesz też z doświadczenia, że na dzień wykorzystujesz system dziesiętny, ale czy wiedziałeś że to nie jedyne systemy liczbowe jakie używamy (ani nawet pierwsze które używaliśmy my oraz komputery).

Artykuł ten zacznijmy z grubej rury

To co najważniejsze na początek (poniższa grafika), a w trakcie czytania wszystko sobie przyswoisz (pod warunkiem, że poznałeś już zakresy zmiennych – na wcześniejszej lekcji).

Kilka ciekawostek

na dobry początek.

Systemy liczbowe są w gruncie rzeczy konwencją, metodą zapisu i manipulacji liczb. Choć na co dzień korzystamy głównie z systemu dziesiętnego (ponieważ mamy 10 palców, na których się go uczymy), to w różnych kulturach i okresach historycznych, a także w różnych dziedzinach nauki i techniki, stosowane są inne systemy liczbowe – choć palców mieli tyle samo.

Prawdopodobnie pierwszy system liczbowy jaki powstał w naszych dziejach, a miało to już miejsce 6 tys. lat temu był dziełem Sumerów. I wbrew powszechnym przekonaniom nie był to system dziesiętny, a sześćdziesiątkowy (seksagesymalny). Do pewnego stopnia przetrwał do dziś w naszym podziale czasu (60 minut = 1 godzina) i kątów (360 stopni jako 6 * 60). System ten jest szczególnie wygodny w handlu, gdyż 60 ma wiele dzielników i umożliwiał dokonywanie transakcji różnych dóbr przed pojawieniem się walut np. jednak krowa (wartość 60) mogła być wymieniana na 3 kozy (20), a jednak koza na 4 kury (5), a …. i tak dalej, bez potrzeby używania ułamków – choć ułamki sześćdziesiątkowe były powszechnie używane przed ułamkami dziesiętnymi.

Współcześnie najbardziej znanym alternatywnym systemem liczbowym jest system binarny, wykorzystywany przez wszystkie urządzenia cyfrowe, w tym także sterowniki PLC. Ciekawostką jest fakt, że pomysł systemu binarnego pojawił się już w starożytności! Starożytny chiński tekst „I Ching”, spisany około 1000 r. p.n.e., opisywał już, jak za pomocą systemu binarnego dodawać, odejmować, obliczać pozycje na kostce do gry, a także – co zaskakujące – przewidywać pogodę. Gottfried Leibniz, „współczesny” – czy raczej ponowny, bo miało to miejsce w 1689 roku – „wynalazca” systemu dwójkowego, przyznał, że miał okazję zapoznać się z tym pismem. Jednak przez kolejne około 250 lat, aż do czasów powstania elektronicznych układów, system ten z dość oczywistych powodów nie cieszył się zbyt dużą popularnością – mało jest osób z dwoma palcami, chyba że w tartakach.

System dwunastkowy (duodecimalny) oparty na liczbie 12, był stosowany w niektórych starożytnych cywilizacjach, takich jak starożytny Egipt i Elam. Na przestrzeni wieków, co chwilę pojawiał się ktoś, kto był orędownikiem wprowadzenia takiego systemu zamiast dziesiętnego. Jednym z głośniejszych był Joshua Jordaine, który w 1687 roku wydał na ten temat dzieło „Duodecimal Arithmetick” .Do dziś są osoby, które wykorzystują taki system w codziennej pracy, argumentując to faktem, że liczba 12 może być dzielona bez reszty przez 6, 4, 3 i 2, a 10 tylko przez 5 i 2 – co faktycznie w praktyce mogło by trochę ułatwić życie. Kończąc ten temat dodam tylko, że jeżeli uważasz taki system za wygodniejszy to możesz zapisać się do jednego z stowarzyszeń, które go promują – a jest ich kilka i wydają nawet swoje magazyny – w tym chyba największe DNS (The Dozenal Society of America).

System heksadecymalny jest powszechnie stosowany w informatyce, ponieważ składa się z 16 cyfr i idealnie pasuje do 4-bitowego systemu binarnego. Każda cyfra heksadecymalna reprezentuje dokładnie 4 bity, co ułatwia zrozumienie i manipulację danymi binarnymi.
Różnorodność systemów liczbowych pokazuje, jak bardzo nasze sposoby myślenia o liczbach są uwarunkowane kulturowo. Pomimo tej różnorodności, wszystkie systemy liczbowe służą do tego samego – reprezentowania i manipulowania liczbami w celu zrozumienia i kształtowania świata wokół nas.

Podczas średniowiecza systemy liczbowe używane w różnych częściach świata były bardzo zróżnicowane, a wiele z nich było dziedzictwem dawnych kultur. Sprawny system liczbowy przyśpieszał rozwój danych cywilizacji, a zacofane czy mało intuicyjne potrafiły je spowalniać na całe wieki, czego najlepszym przykładem była Średniowieczna Europa.
Na początku średniowiecza w Europie nadal dominował system liczbowy używany przez starożytnych Rzymian, znany jako rzymski system liczbowy. Składał się on z liter: I, V, X, L, C, D, M, które reprezentowały odpowiednio liczby: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000. Choć był intuicyjny i łatwy do zrozumienia, system rzymski był nieefektywny w prowadzeniu skomplikowanych obliczeń, co ograniczało rozwój nauki i techniki.

W średniowiecznej Europie obserwowaliśmy ewolucję od systemu rzymskiego do systemu dziesiętnego, który jest obecnie powszechnie stosowany. Kluczowym czynnikiem tego przejścia były kontakty z kulturą arabską, zwłaszcza po tym, jak muzułmanie zdobyli Hiszpanię w VIII wieku. Arabowie przekazali Europie system dziesiętny, który pierwotnie został opracowany przez starożytnych Hindusów. Ten system, bazujący na koncepcji „miejsca wartości” i wprowadzający ideę „zera”, rewolucjonizował obliczenia.

Ciekawostką jest fakt, że współczesny system dziesiętny z zapisem arabskim, mimo nazwy, ma korzenie w kulturze indyjskiej. To Hindusi nauczyli go Arabów, z którymi Europa miała liczne kontakty, zarówno wojenne, jak i handlowe. Paradoksalnie, system ten dotarł do Europy nie bezpośrednio z Indii, ale przez Hiszpanię, podbitą przez muzułmanów. W tym kontekście warto wspomnieć o Leonardo Fibonacci z Pizy, znany z ciągu Fibonacciego. W 1202 r. opublikował on „Liber abaci”, pierwsze europejskie dzieło poświęcone systemowi dziesiętnemu i zapisowi arabskiemu. Bez tej pracy, historia Europy mogłaby potoczyć się inaczej.

Kulturze arabskiej zawdzięczamy wiele więcej niż można by się spodziewać, bo to ta kultura rozwijała naukę, medycynę, matematykę i astronomię, gdy nasi przodkowie palili czarownice na stosach. Część ich osiągnięć zaczyna się od „al”, takich jak algebra czy algorytm, ponieważ pochodzą one od nazwisk wielkich myślicieli, które też zaczynały się od Al, np. Al-Khwarizmi, Al-Farabi czy genialny wynalazca, twórca pierwszego podręcznika do „robotyki” z 1206 roku, al-Jazari (możesz o nim poczytać w artykule na stronie fundacji).”

Słowo „kamyczek” po łacinie brzmi „calculus”, co kojarzy nam się nieprzypadkowo z wykonywaniem kalkulacji (obliczeń). Ta sama łacińska nazwa jest również używana jako termin matematyczny, odnoszący się do kalkulusu – gałęzi matematyki zajmującej się pojęciami granicy, ciągłości, pochodnej, całki i nieskończoności. Czy to przypadek, że słowo kamyczek ma taką samą nazwę jak dział matematyki? Nie. W starożytności, gdy „mniej wykształceni” pasterze wypuszczali rano na pastwiska swoje stada owiec, odkładali na stos po jednym kamyczku dla każdej owcy. Następnie, wieczorem, sprowadzali je z powrotem i dla każdej przyprowadzonej owcy zabierali jeden z kamyczków. W ten prosty sposób mogli „obliczyć”, czy wyszło i wróciło tyle samo sztuk zwierząt.

Powyższe informacje pochodzą z książek Alexa Bellosa, które szczerze polecam wszystkim osobom chcących dostrzec w matematyce coś więcej niż tylko przedmiot wpisany na planie zajęć.

System liczbowe w praktyce

Na początku muszę podkreślić, że prawdopodobnie nigdy nie będziesz musiał wykonywać wszystkich poniższych kalkulacji ręcznie, ponieważ maszyny wykonają je za Ciebie. Jednak, gdyby kiedyś zdarzyło się, że coś przestało prawidłowo działać, ta wiedza może pozwolić Ci rozwiązać taki problem.

W wcześniejszym rozdziale wspomnieliśmy już, że to Hindusi wymyślili pozycyjny system liczbowy, który wykorzystujemy do dzisiaj. Ale co to tak właściwie znaczy?

Pozycyjny system liczbowy to sposób reprezentowania liczb, w którym wartość każdej cyfry zależy od jej pozycji (miejsca) w całkowitej liczbie (ciągu cyfr). Najczęściej używanym pozycyjnym systemem liczbowym jest system dziesiętny, od którego zaczniemy, ponieważ jest nam najbliższy. Ale istnieją też inne systemy, takie jak dwójkowy (binarny), czy szesnastkowy (hexadecymalny – heksadecymalny).
Kluczową cechą pozycyjnego systemu liczbowego jest to, że cyfra na każdej pozycji jest pomnożona przez bazę systemu (ilość znaków w danym systemie) podniesioną do potęgi odpowiadającej tej pozycji. W systemie dziesiętnym bazą jest 10, w systemie dwójkowym bazą jest 2, w systemie ósemkowym bazą jest 8, itd

Na przykład, w systemie dziesiętnym, liczba 3456 oznacza 31000 + 4100 + 510 + 61. Każda cyfra jest pomnożona przez ilość znaków w danym systemie (tu dziesięć) i podniesiona do potęgi odpowiadającej jej pozycji (licząc od prawej strony).

W systemie hexadecymalnym (szesnastkowym) do zapisu liczb stosujemy jeszcze litery o wartościach A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 i F = 15. Jeżeli zapiszemy liczbę „A7” to A czyli 10 mnożymy razy 16^1 i dodajemy do tego 7 razy 16^0 i otrzymujemy 167.

System dwójkowy – binarny

Analogicznie, w systemie dwójkowym, liczba 1011 oznacza 12^3 + 02^2 + 12^1 + 12^0, co daje wynik 11 w systemie dziesiętnym.

Przy systemie dwójkowym musimy się zatrzymać na trochę dłużej, ponieważ stanowi on naturalny język naszych sterowników PLC. Dlatego też powinien stać się nam bliższy.

Jeżeli chcielibyśmy / musielibyśmy (niepotrzebne skreślić) wprowadzić do sterownika konkretną wartość w kodzie binarnym (a przy specyficznych, bardziej zaawansowanych programach naprawdę możemy być do tego zmuszeni), należałoby poznać taką metodykę.

Ja wykorzystuję do tego celu tabelkę z dwiema kolumnami. Do górnej lewej komórki wpisuję liczbę zapisaną dziesiętnie, którą chcę przeliczyć na system binarny (chociaż metoda ta działa dla wszystkich systemów pozycyjnych), a do górnej prawej liczbę znaków w danym systemie (podstawę systemu). Gdy już mam w ten sposób przygotowane miejsce na kartce, zaczynam dzielić to, co z lewej strony, przez 2. Dla przykładu, chcąc przekonwertować liczbę „21”* na zapis binarny, dzielę 21 przez 2. Otrzymany wynik (10) wpisuję do kolumny z lewej strony, a resztę (1) z prawej. W kolejnym kroku dzielę 10 przez 2 i ponownie wynik wpisuję z lewej strony, a resztę z prawej. Powtarzam ten zabieg tak długo, aż z lewej strony otrzymam „0”.

*”21” to także tytuł bardzo dobrego – jednego z moich ulubionych – filmu z 2008 roku, w którym przewijają się tematy praktycznego zastosowania matematyki– może kogoś ten film zmotywuje do nauki;)

Zmienne PLC bez znaku

Znając zakresy zmiennych i kodowanie binarne docieramy do liczbowych typów zmiennych całkowitych PLC, które w sterownikach 1200 są podzielone na dwie grupy: bez znaku (unsigned – nazywam je nowymi ponieważ nie występowały w starszej wersji oprogramowania Step7) i z znakiem (signed).

Bardzo, ale to bardzo ważne jest, abyś zapamiętał przynajmniej mniej więcej jakie wartości na zmiennych USInt, UInt i UDInt można zapisać, ponieważ bez tej wiedzy ciężko tworzyć działające programy.

Podkreślę, że słowo „integer” w j. angielskim oznacza „całkowite”, dlatego omawiane zmienne w tym podręczniku nie pozwalają zapisać wartości po przecinku (ułamków), a wyłącznie liczby całkowite.
Z jakimi problemami można się zmierzyć? Dla przykładu można w tym miejscu przytoczyć dwie historie udokumentowane w książki „Pi razy oko” autorstwa Matta Parkera w których to twórcy systemów nie do końca doszacowali co może się wydarzyć w przyszłości.

Dzwonek ostrzegawczy – lekcja historii

Jednym z najważniejszych argumentów przemawiających za nauką historii jest ten, że dzięki niej możemy unikać popełniania tych samych błędów. Poniżej jedna z takich historii.

Pierwsza historia dotyczy inżynierów z kraju pachnącego serem i słynącego z drogich zegarków. Szwajcarski system kontroli ruchu kolejowego określa długość składu znajdującego się na danym torze poprzez zliczanie ilości osi wszystkich wagonów (dodaje jedynkę, gdy koło zostaje wykryte przez czujnik). Nie byłoby w tym nic niezwykłego, gdyby nie fakt, że system informatyczny przechowuje liczbę osi w zmiennej 8-bitowej, która, jak już wiesz, może przechowywać liczby z zakresu od 0 do 255. Co w sytuacji, gdy na torach pojawi się pociąg z liczbą 256 osi? Zniknie. A tak przynajmniej wynikało z przepisów, które przytacza autor w książce „Pi razy oko” „Zugvorbereitung r 300.5 zugbildung 4.7.4”, ponieważ niezabezpieczony licznik, po zwiększeniu liczby 255 o jeden, przepełnia się i liczy znowu od zera. Dlatego w Szwajcarii nie może (a przynajmniej do 2020 roku, w którym nowelizowano te przepisy nie mógł) wjechać na tory pociąg o 256 osiach, bo stałby się niewidzialny (a to brzmi fajnie tylko w filmach o superbohaterach).

To Ci się przyda

Zmienne PLC z znakiem

Jeżeli nasz sterownik potrzebuje wykonywać obliczenia także na liczbach ujemnych – co rzadziej ma miejsce – musimy sięgnąć po zmienne nie zaczynające się od litery „u”, czyli zmienne integer.

Gdzie leży minus?
To co musisz wiedzieć to to, że pierwszy bit z lewej strony (Sint 27, Int 215, Dint 231 ) jest nazywany MSB (od ang. Most Significant Bit) „najbardziej istotny bit” który odpowiada za znak liczby. Jeżeli przyjmuje wartość „1” to liczba zakodowana na danym ciągu bitów, będzie przyjmować wartości ujemne, a gdy „0” to dodatnie.
To co nie musisz wiedzieć – bo zrobi to za Ciebie komputer – to jak zapisywać binarnie liczby ujemne. Liczby ujemne w systemach PLC zapisuje się zazwyczaj używając metody komplementu do dwóch. Metoda ta jest popularna, ponieważ pozwala na łatwe dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych i dodatnich.

Dla systemu binarnego, komplement do dwóch liczby x jest wyliczany jako negacja bitowa x (każdy bit jest zamieniany na przeciwny, tzn. 0 na 1 i 1 na 0), a następnie do wyniku dodaje się 1.
Na przykład, jeśli chcemy przedstawić liczbę -3 w systemie binarnym 8-bitowym, najpierw przedstawiamy liczbę 3, która wygląda tak: 0000 0011. Następnie bierzemy negację bitową tej liczby, co daje nam 1111 1100. Na koniec dodajemy 1, otrzymując 1111 1101, co jest reprezentacją -3 w systemie binarnym z użyciem komplementu do dwóch.

Przykład:
„+3” w systemie binarnym 8-bitowym to 0000 0011, a „+1” = 0000 0001
„-3” w systemie binarnym 8-bitowym to 1111 1101, a „-1”=1111 1111 (podobnie w Int i Dint – same jedynki)

Jeszcze jedna pouczająca historia
Kolejna wpadka inżynierów miała miejsce w centrum tworzenia oprogramowania dla samolotów Boeing Dreamliner 787. Agregaty prądotwórcze silników na pokładzie mierzyły czas z dokładnością do 10 ms, co oznacza, że dodawały „1” co 10 ms do zmiennej DInt. Idąc tym tropem, łatwo można doliczyć się, że mogły pracować nieustannie przez 248 dni, 13 godzin, 13 minut i 56,47 sekundy, nim przepełnił się im „układ czasowy”. Przepełnienie tego licznika powodowało natychmiastowe wyłączenie generatora, niezależnie od fazy lotu. Dlatego aż do 2015 roku, kiedy to zaktualizowano system, każdy właściciel Boeinga musiał pamiętać, aby go zresetować – pewnie wyjąć kluczyk ze stacyjki, lub zrobić coś podobnego.

Systemy liczbowe w Watch table

Dotychczas w Watch table (wcześniejsza lekcja dostępna tutaj) modyfikowaliśmy tylko stany zmiennych, poprzez przesłanie do zmiennych binarnych jedynki lub zero. Od teraz bez problemu możesz zacząć wysyłać do konkretnych adresów także wartości liczbowe!

Pozostałe typy zmiennych REAL, Long….

Muszę być z Tobą szczery, to nie wszystkie typy zmiennych które są dostępne na sterowniku S7-1200, ale wszystkie podstawowe, które przydadzą Ci się podczas tego szkolenia. Jeżeli dotrzemy do operowania na czasie wspomnę o kolejnych.

Jako ciekawostkę wspomnę jeszcze o kilku:
BCD – dla wyświetlaczy 7 segmentowych oraz starej generacji liczników i timerów (S7-300 i 400), standardowy zakres to tylko 0-999 na 16 bitach.

LInt – długi integer bo zapisywana na 64 bitach z zakresem od -9 223 372 036 854 775 808  do +9 223 372 036 854 775 807

REAL – floating point – rzeczywiste (zmiennoprzecinkowe) zapisywane na 32 bitach od -3.4*10^38 do 3.4*10^28 (albo do skrajnie małych -/+ 1,18*10^-38) jest jeszcze LREAL tam 10 podnosimy do 308 potęgi – dużo by pisać.

I kilka innych ….

Podsumowanie …

…. dla kumatych.

Ten rozdział można podsumować najlepiej tym działaniem: 1 + 1 = 10.

Dlatego, że są 10 rodzaje ludzi.
Ci którzy znają system dwójkowy
i Ci, którzy go nie rozumieją. 

KONIEC LEKCJI

Powrót do spisu treści szkolenia dla uczniów techników i studentów

Podręcznik dla tego szkolenia dostępny TU -> 5xP PLC 1200

Zobacz więcej

Fundacja CALM edu

Fundacja CALM edu dzieli się swoją wiedzą w całkowicie darmowy sposób i jest finansowana z środków prywatnych jej założyciela. Jeżeli jednak chcesz dołożyć swoją cegiełkę do rozwoju naszej fundacji i pomóc nam w przygotowaniu kolejnych darmowych ogólnodostępnych materiałów skorzystaj z komercyjnych szkoleń firmy CALM group, z których pośrednio przychód pozwala pokryć fundacyjne wydatki lub przekaż nam darowiznę na platformie Patronite (wkrótce)

Jeżeli jesteś przedstawicielem szkoły zainteresowanym przygotowaniem swoich nauczycieli do wyzwań edukacji 4.0 lub uczniów do egzaminów zawodowych, pójściem na studia czy przyszłą pracą z wykorzystaniem nowoczesnych technologi to zapraszamy do kontaktu. Lista komercyjnych szkoleń dostępna pod tym linkiem.

Na tej stronie dowiesz się wszystkiego na temat naszych działań.

Podoba Ci się to co robimy i chciałbyś dołączyć do zespołu aby dzielić się swoja widzą i doświadczeniami ? Skontaktuj się z nami !!!