Karolina Koza, Autor w serwisie Grzegorz Czekała - pasjonat życia, szkoleniowiec, mechatronik

Na tej stronie znajdziesz:

Spis treści

Podzbiory zbioru skończonego (treść rozszerzona)

Sprawdź swoją wiedzę

Dla nauczyciela

Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej aby zrobić coś z poza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału).

czytaj więcej: O projekcie „Szkoła 4.0”

Słowem wstępu

Wielomiany są to wyrażenia algebraiczne, które składają się z sumy różnych potęg zmiennej, np.

$2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$

Termin „wielomian” pochodzi od greckiego słowa oznaczającego „wiele członów”, co odzwierciedla strukturę wielomianu jako sumy wielu składników.

Dodawanie wielomianów:

Aby dodać dwa wielomiany, wystarczy dodać odpowiednie człony tych wielomianów. Na przykład, jeśli mamy:

$2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$ i $(3x^2 + 4x + 2)$

to dodając je razem otrzymamy:

$((2x^3 - 3x^2 + 5x - 1) + (3x^2 + 4x + 2) = 2x^3 + (−3 + 3)x^2 + (5 + 4)x + (−1 + 2))$

W rezultacie otrzymujemy nowy wielomian, którego stopień może być równy maksymalnemu stopniowi spośród dodawanych wielomianów.

Odejmowanie wielomianów:

Odejmowanie wielomianów działa na tej samej zasadzie co dodawanie. Wystarczy odjąć odpowiednie człony od siebie. Na przykład, jeśli mamy:

$2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$ i $(3x^2 + 4x + 2)$

to odejmując jeden od drugiego otrzymamy:

$((2x^3 - 3x^2 + 5x - 1) - (3x^2 + 4x + 2) = 2x^3 + (−3 - 3)x^2 + (5 - 4)x + (−1 - 2))$

Mnożenie wielomianów:

Mnożenie wielomianów jest nieco bardziej skomplikowane, ponieważ każdy człon jednego wielomianu musi być pomnożony przez każdy człon drugiego wielomianu, a następnie dodać odpowiednie wyrazy. Na szczęście istnieje zasada mnożenia nazywana zasadą dystrybutywności mnożenia względem dodawania, która upraszcza ten proces. Na przykład, mnożąc:

$(2x^2 + 3x - 1) i (x + 2)2x^3 - 3x^2 + 5x - 1$

musimy pomnożyć każdy człon pierwszego wielomianu przez każdy człon drugiego i dodać wyniki:

$(2x^2(x) + 2x^2(2) + 3x(x) + 3x(2) - 1(x) - 1(2))$

co po uproszczeniu daje:

$(2x^3 + 4x^2 + 3x^2 + 6x - x - 2)$

czyli ostatecznie:

$(2x^3 + 7x^2 + 5x - 2))$

Ważne jest także zauważenie, że w wyniku mnożenia wielomianów stopień wyniku będzie równy sumie stopni mnożonych wielomianów. Na przykład, gdy mnożymy wielomian drugiego stopnia przez wielomian pierwszego stopnia, otrzymujemy wielomian trzeciego stopnia.

W uproszczeniu

Wielomiany to rodzaj wyrażeń matematycznych, które zawierają jedną lub więcej zmiennych oraz składają się z różnych elementów zwanych członami. Każdy człon wielomianu może zawierać zmienną podniesioną do pewnej potęgi. Przykładem wielomianu jest

$(2x^3 - 3x^2 + 5x - 1)$

gdzie (x) jest zmienną, a liczby i symbole, takie jak (2x_³), (3x_²), (5x), (1) to człony wielomianu.

Dodawanie wielomianów:

Dodawanie wielomianów polega na dodawaniu odpowiadających sobie członów z dwóch lub więcej wielomianów. Na przykład, jeśli mamy wielomian

$(2x^3 - 3x^2 + 5x - 1)i wielomian (3x^2 + 4x + 2)$

to dodając je razem, dodajemy człony o tych samych potęgach:

$(2x^3 + (−3 + 3)x^2 + (5 + 4)x + (−1 + 2))$

Po zsumowaniu otrzymujemy nowy wielomian.

Odejmowanie wielomianów:

Odejmowanie wielomianów polega na odejmowaniu odpowiadających sobie członów z dwóch wielomianów. Na przykład, jeśli odejmujemy wielomian

$(2x^3 - 3x^2 + 5x - 1) od wielomianu (3x^2 + 4x + 2)$

odejmujemy człony o tych samych potęgach:

$(2x^3 + (−3 - 3)x^2 + (5 - 4)x + (−1 - 2))$

Po odjęciu otrzymujemy nowy wielomian.

Mnożenie wielomianów:

Mnożenie wielomianów polega na pomnożeniu każdego członu z jednego wielomianu przez każdy człon z drugiego wielomianu, a następnie zsumowanie wyników. Na przykład, mnożąc wielomian (2x^2 + 3x – 1) przez wielomian (x + 2), musimy pomnożyć każdy człon z pierwszego wielomianu przez każdy człon z drugiego i dodać wyniki. Ostatecznie otrzymujemy nowy wielomian.

Ważne jest zrozumienie, że te operacje działają na podstawie zasad matematycznych i zwykle są wykonywane krok po kroku, aby uzyskać prawidłowe wyniki.

Po co mi to?

Rozwój umiejętności matematycznych: Praca z wielomianami wymaga zrozumienia podstawowych zasad matematycznych, takich jak właściwości liczb i operacji. Ćwiczenia w dodawaniu, odejmowaniu i mnożeniu wielomianów rozwijają umiejętności logicznego myślenia, koncentracji i rozwiązywania problemów.
Przygotowanie do dalszej nauki: Zrozumienie działania wielomianów jest kluczowe w kontekście dalszej nauki matematyki oraz nauk ścisłych. Wielomiany są wykorzystywane w różnych obszarach, takich jak algebra, analiza matematyczna, statystyka, fizyka czy inżynieria. Umiejętność pracy z wielomianami jest więc przydatna dla tych, którzy planują kontynuować naukę na studiach wyższych.
Praktyczne zastosowania: Chociaż na pierwszy rzut oka praca z wielomianami może wydawać się abstrakcyjna, to ma wiele praktycznych zastosowań. Na przykład, wielomiany są używane do modelowania różnych zjawisk, takich jak wzrost populacji, zmiany cen, prognozowanie trendów ekonomicznych czy projektowanie obwodów elektrycznych. Znajomość operacji na wielomianach może więc być przydatna w analizie danych, planowaniu finansów osobistych czy też projektowaniu rozwiązań technicznych.
Rozwój umiejętności życiowych: Praca z wielomianami może pomóc w rozwijaniu ogólnych umiejętności życiowych, takich jak rozwiązywanie problemów, analityczne myślenie, planowanie i organizacja pracy. Te umiejętności mogą być przydatne nie tylko w kontekście nauki, ale również w życiu codziennym i przyszłej karierze zawodowej.

Nie samą nauką uczeń żyje …

Ile trzeba mieć lat aby skonstruować reaktor jądrowy?
Wystarczy 12! Jeśli tyle skończyłeś to dzięki wiedzy zdobytej m.in na tej stronie będziesz w stanie zbudować reaktor fuzyjny tak jak to uczynił Jackson Oswalt z Memphis. W sztucznym słońcu chłopiec wykorzystał dwa atomy deuteru, które połączyły się i stworzyły atom helu-3 i uwolniły jeden neutron, co z kolei nagrzało wodę. Nagrzana woda może napędzić turbinę elektryczną. (źródło)

Kilka ciekawostek

epodrecznik.pl – Odkrycie i historia liczb niewymiernych

Przydatne materiały

Pozostałe linki do odwiedzenia:

Mnożenie jednomianów przez wielomiany – khanacademy

Mnożenie dwumianów przez wielomiany – khanacademy

Dodawanie wielomianów – khanacademy

Dodawanie i odejmowanie wielomianów – matemaks.pl

Wielomiany – Zintegrowana Platforma Edukacji

Lista wszystkich naszych źródeł:

Platformy do nauki matematyki

Dla nauczycieli

Jeżeli posiadasz materiały, które mogą ułatwić pracę innym nauczycielom (twojego autorstwa lub które możesz legalnie udostępnić) to proszę podziel się nimi w tej ankiecie. W razie pytań lub jeśli wyrażasz chęć współpracy, skontaktuj się z nami na FundacjaCALMedu@grzegorzczekala.pl.

Zapraszamy dzieci na wyjątkowe warsztaty majsterkowania SCUBE – gdzie nauka spotyka się z zabawą, a pomysły zamieniają się w prawdziwe konstrukcje!

Podczas zajęć dzieci zbudują własne modele z kostek – kreatywnych klocków do skręcania, śrubkami zaprojektowanymi dla najmłodszych. Poznają podstawy techniki, konstrukcji i pracy z narzędziami, ucząc się przez działanie, współpracę i rozmowę.

Dlaczego warto?

rozwój sprawności manualnej i wyobraźni przestrzennej – zero wkrętarek tylko śrubokręty,
nauka cierpliwości, planowania i pracy zespołowej,
przygotowując warsztaty bazujemy na neurodydaktyce,
wspaniała zabawa i satysfakcja z tworzenia czegoś własnymi rękami!

Warsztaty majsterkowania SCUBE to wprowadzenie do pracy inżyniera: zaczynamy od rysunków (projektów), tworzymy fizyczne konstrukcje, testujemy (bawimy się), wymyślamy co można usprawnić, testujemy ….

Warsztaty „inżynierskie” poprowadzą

Pasjonaci edukacji technicznej i konstruktorzy z doświadczeniem w pracy z dziećmi.
Zajęcia prowadzone są w duchu „kostek do budowania relacji” – tak, by każde dziecko czuło wsparcie, zrozumienie i radość z tworzenia.

mgr. inż. mechatroniki Grzegorz Czekała

Pracuję z międzynarodowymi zespołami inżynierów, uruchamiając autonomiczne magazyny, prowadzę fundację edukacyjną CALM edu i od lat uczę ludzi, jak programować przemysł jutra. Odkąd zostałem tatą, wiem jednak, że najtrudniejsze projekty zaczynają się od pytania: „Tato, zbudujemy robota, który sam posprząta nam pokój?”.
A potem kończą się budową lewitującego dinozaura z trzech śrubek i resoraka…

mgr. inż. arch. Karolina Koza

Z wykształcenia architektka, z pasji projektantka, a po godzinach instruktorka Związku Harcerstwa Polskiego. Od lat pracuję z dziećmi, młodzieżą i dorosłymi, wspierając ich rozwój i organizując wydarzenia — od lokalnych biwaków po ogólnopolskie zloty. Uwielbiam podróże — te dalekie i te bliskie, zwłaszcza kiedy prowadzą przez mapę pełną wyzwań, pomysłów i śmiechu. Wiem, że największe wyprawy zaczynają się od dobrze spakowanego plecaka i zespołu, który chce iść razem, a najlepsze przygody — od prostego pytania: „A może zrobimy coś razem?”