Wielomiany

dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

Na tej stronie znajdziesz:

Spis treści

Po co mi to?

Oś liczbowa

Zbiory liczbowe

Przedziały

Podzbiory zbioru skończonego (treść rozszerzona)

Sprawdź swoją wiedzę

Dla nauczyciela

Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej aby zrobić coś z poza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału).

czytaj więcej: O projekcie „Szkoła 4.0”

Słowem wstępu

Wielomiany są to wyrażenia algebraiczne, które składają się z sumy różnych potęg zmiennej, np.

2x^3 - 3x^2 + 5x - 1

Termin „wielomian” pochodzi od greckiego słowa oznaczającego „wiele członów”, co odzwierciedla strukturę wielomianu jako sumy wielu składników.

Dodawanie wielomianów:

Aby dodać dwa wielomiany, wystarczy dodać odpowiednie człony tych wielomianów. Na przykład, jeśli mamy:

2x^3 - 3x^2 + 5x - 1 i (3x^2 + 4x + 2)

to dodając je razem otrzymamy:

((2x^3 - 3x^2 + 5x - 1) + (3x^2 + 4x + 2) = 2x^3 + (−3 + 3)x^2 + (5 + 4)x + (−1 + 2))

W rezultacie otrzymujemy nowy wielomian, którego stopień może być równy maksymalnemu stopniowi spośród dodawanych wielomianów.

Odejmowanie wielomianów:

Odejmowanie wielomianów działa na tej samej zasadzie co dodawanie. Wystarczy odjąć odpowiednie człony od siebie. Na przykład, jeśli mamy:

2x^3 - 3x^2 + 5x - 1 i (3x^2 + 4x + 2)

to odejmując jeden od drugiego otrzymamy:

((2x^3 - 3x^2 + 5x - 1) - (3x^2 + 4x + 2) = 2x^3 + (−3 - 3)x^2 + (5 - 4)x + (−1 - 2))

Mnożenie wielomianów:

Mnożenie wielomianów jest nieco bardziej skomplikowane, ponieważ każdy człon jednego wielomianu musi być pomnożony przez każdy człon drugiego wielomianu, a następnie dodać odpowiednie wyrazy. Na szczęście istnieje zasada mnożenia nazywana zasadą dystrybutywności mnożenia względem dodawania, która upraszcza ten proces. Na przykład, mnożąc:

(2x^2 + 3x - 1) i (x + 2)2x^3 - 3x^2 + 5x - 1

musimy pomnożyć każdy człon pierwszego wielomianu przez każdy człon drugiego i dodać wyniki:

(2x^2(x) + 2x^2(2) + 3x(x) + 3x(2) - 1(x) - 1(2))

co po uproszczeniu daje:

(2x^3 + 4x^2 + 3x^2 + 6x - x - 2)

czyli ostatecznie:

(2x^3 + 7x^2 + 5x - 2))

Ważne jest także zauważenie, że w wyniku mnożenia wielomianów stopień wyniku będzie równy sumie stopni mnożonych wielomianów. Na przykład, gdy mnożymy wielomian drugiego stopnia przez wielomian pierwszego stopnia, otrzymujemy wielomian trzeciego stopnia.

W uproszczeniu

Wielomiany to rodzaj wyrażeń matematycznych, które zawierają jedną lub więcej zmiennych oraz składają się z różnych elementów zwanych członami. Każdy człon wielomianu może zawierać zmienną podniesioną do pewnej potęgi. Przykładem wielomianu jest

(2x^3 - 3x^2 + 5x - 1)

gdzie (x) jest zmienną, a liczby i symbole, takie jak (2x3), (3x2), (5x), (1) to człony wielomianu.

Dodawanie wielomianów:

Dodawanie wielomianów polega na dodawaniu odpowiadających sobie członów z dwóch lub więcej wielomianów. Na przykład, jeśli mamy wielomian

(2x^3 - 3x^2 + 5x - 1)i wielomian (3x^2 + 4x + 2)

to dodając je razem, dodajemy człony o tych samych potęgach:

(2x^3 + (−3 + 3)x^2 + (5 + 4)x + (−1 + 2))

Po zsumowaniu otrzymujemy nowy wielomian.

Odejmowanie wielomianów:

Odejmowanie wielomianów polega na odejmowaniu odpowiadających sobie członów z dwóch wielomianów. Na przykład, jeśli odejmujemy wielomian

(2x^3 - 3x^2 + 5x - 1) od wielomianu (3x^2 + 4x + 2)

odejmujemy człony o tych samych potęgach:

(2x^3 + (−3 - 3)x^2 + (5 - 4)x + (−1 - 2))

Po odjęciu otrzymujemy nowy wielomian.

Mnożenie wielomianów:

Mnożenie wielomianów polega na pomnożeniu każdego członu z jednego wielomianu przez każdy człon z drugiego wielomianu, a następnie zsumowanie wyników. Na przykład, mnożąc wielomian (2x^2 + 3x – 1) przez wielomian (x + 2), musimy pomnożyć każdy człon z pierwszego wielomianu przez każdy człon z drugiego i dodać wyniki. Ostatecznie otrzymujemy nowy wielomian.

Ważne jest zrozumienie, że te operacje działają na podstawie zasad matematycznych i zwykle są wykonywane krok po kroku, aby uzyskać prawidłowe wyniki.

Po co mi to?

  1. Rozwój umiejętności matematycznych: Praca z wielomianami wymaga zrozumienia podstawowych zasad matematycznych, takich jak właściwości liczb i operacji. Ćwiczenia w dodawaniu, odejmowaniu i mnożeniu wielomianów rozwijają umiejętności logicznego myślenia, koncentracji i rozwiązywania problemów.
  2. Przygotowanie do dalszej nauki: Zrozumienie działania wielomianów jest kluczowe w kontekście dalszej nauki matematyki oraz nauk ścisłych. Wielomiany są wykorzystywane w różnych obszarach, takich jak algebra, analiza matematyczna, statystyka, fizyka czy inżynieria. Umiejętność pracy z wielomianami jest więc przydatna dla tych, którzy planują kontynuować naukę na studiach wyższych.
  3. Praktyczne zastosowania: Chociaż na pierwszy rzut oka praca z wielomianami może wydawać się abstrakcyjna, to ma wiele praktycznych zastosowań. Na przykład, wielomiany są używane do modelowania różnych zjawisk, takich jak wzrost populacji, zmiany cen, prognozowanie trendów ekonomicznych czy projektowanie obwodów elektrycznych. Znajomość operacji na wielomianach może więc być przydatna w analizie danych, planowaniu finansów osobistych czy też projektowaniu rozwiązań technicznych.
  4. Rozwój umiejętności życiowych: Praca z wielomianami może pomóc w rozwijaniu ogólnych umiejętności życiowych, takich jak rozwiązywanie problemów, analityczne myślenie, planowanie i organizacja pracy. Te umiejętności mogą być przydatne nie tylko w kontekście nauki, ale również w życiu codziennym i przyszłej karierze zawodowej.

Nie samą nauką uczeń żyje …

Ile trzeba mieć lat aby skonstruować reaktor jądrowy?
Wystarczy 12! Jeśli tyle skończyłeś to dzięki wiedzy zdobytej m.in na tej stronie będziesz w stanie zbudować reaktor fuzyjny tak jak to uczynił Jackson Oswalt z Memphis. W sztucznym słońcu chłopiec wykorzystał dwa atomy deuteru, które połączyły się i stworzyły atom helu-3 i uwolniły jeden neutron, co z kolei nagrzało wodę. Nagrzana woda może napędzić turbinę elektryczną. (źródło)

Kilka ciekawostek

epodrecznik.pl – Odkrycie i historia liczb niewymiernych

Przydatne materiały

Pozostałe linki do odwiedzenia:

Mnożenie jednomianów przez wielomiany – khanacademy

Mnożenie dwumianów przez wielomiany – khanacademy

Dodawanie wielomianów – khanacademy

Dodawanie i odejmowanie wielomianów – matemaks.pl

Wielomiany – Zintegrowana Platforma Edukacji


Lista wszystkich naszych źródeł:

Dla nauczycieli

Jeżeli posiadasz materiały, które mogą ułatwić pracę innym nauczycielom (twojego autorstwa lub które możesz legalnie udostępnić) to proszę podziel się nimi w tej ankiecie. W razie pytań lub jeśli wyrażasz chęć współpracy, skontaktuj się z nami na FundacjaCALMedu@grzegorzczekala.pl.

Zostaw swoją ocenę
Poprzedni Następny

W naszej ofercie także...


					Wdrożenia Dla firm

Wdrożenia

Dziś zdecyduj jak będzie wyglądać przyszłość Twojej firmy

Jeżeli potrzebują Państwo: napisanie lub modyfikację istniejącego programu na sterowniku PLC, przygotowanie lub rozbudowę systemu wizualizacji dla paneli HMI lub systemów SCADA, skomunikowanie nowych urządzeń w sieci Profinet lub Profibus, napisanie strony internetowej pod aplikację Web Serwer, rozbudowanie systemu o układ wizyjny i przeszukiwanie baz danych, dołożenie komunikacji poprzez sieć GSM, i wiele więcej, to […]


					Szkolenia Dla firm

Szkolenia

programowanie PLC i tworzenie wizualizacji HMI

Od 2014r. prowadzę liczne szkolenia z zakresu programowania sterowników PLC i systemów wizualizacji w największym w kraju Centrum Szkoleń Inżynierskich EMT Systems. Szkolenia odbywają się w okazałej zabytkowej siedzibie EMT Systems lub w firmach klientów na terenie całego kraju. Od 2020 roku większość szkoleń przeprowadzana jest także zdalnie na moim autorskim symulatorze. Poniżej lista tygodniowych […]


					Korepetycje dla przemysłu Dla firm

Korepetycje dla przemysłu

Więcej niż konsultacje, szybciej niż szkolenie

Korepetycje dla przemysłu to innowacyjna usługa na kryzysowe czasy lub ekspresowe zlecenia. Połączenie konsultacji, wdrożenia, modyfikacji istniejącego sytemu z spersonalizowanym szkoleniem. Dla kogo? Jeżeli z jakiś powodów nie możesz teraz posłać pracownika na pełne szkolenie (pakiet kilku szkoleń), a potrzebujesz go wyszkolić aby był w stanie wprowadzić modyfikacje w działającym systemie – to ta usługa […]


					Agencja reklamowa Dla firm

Agencja reklamowa

Jeśli nie masz mobilnej strony www to dla wielu nie istniejsz

Jeśli uważasz, że masz aż tak dobry produkt, że nie potrzebujesz go reklamować, to możesz mieć rację. Ale jeśli chcesz go sprzedać to bez strony internetowej daleko nie zajdziesz. Czy potrzebujesz stronę internetową ? W czasach gdy wszystko możesz znaleźć na Facebooku czy Instagramie, strona internetowa może wydawać się niepotrzebnym wydatkiem. Jednak na portalach internetowych […]

Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Zamknij