Poniżej znajdziesz listę wszystkich tematów na które dzieli się nowa podstawa programowa z matematyki dla wszystkich rodzajów szkół (oraz kilka dodatkowych, które warto poznać aby lepiej przyswoić pozostałe).

() [] ** ^ W nawiasach okrągłych zamieściliśmy klasę szkoły średniej, w której dane zagadnienie najprawdopodobniej będziesz przerabiać. Czasami dodatkowo w nawiasie kwadratowym znajdziesz klasę dla uczniów technikum (jeśli jest inna niż dla liceum). Gwiazdki dotyczą poziomu rozszerzonego. Daszek „^” oznacza tematy występujące w kilku miejscach na tej liście (pasujące do więcej niż jednej kategorii.

Prośba o pomoc:

Jeżeli jesteś nauczycielem matematyki i wiesz jak lepiej podzielić poniższe tematy, lub wiesz że warto coś jeszcze tutaj dopisać to proszę skontaktuj się ze mną lub zamieść komentarz poniżej.

Spis treści

Rozgrzewka

Liczby rzeczywiste

Wyrażenia algebraiczne

Równania i nierówności oraz układy równań

Funkcje

Planimetria + geometria płaska

Trygonometria

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Stereometria

Ciągi

Kombinatoryka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

0. Rozgrzewka

Warto to poznać lub sobie przypomnieć

Ogólne

• Ułamki, wszystko na temat
• Przekształcenia wzorów
• Oznaczenia i symbole matematyczne

Logika
Głównym celem matematyki jest nauka logicznego myślenia, umiejętność liczenia to tylko „skutek uboczny” dlatego warto opanować logikę.

• zdania, zaprzeczania zdania, formy zdaniowe
• spójniki logiczne
• prawa rachunku zdań
• dowodzenie implikacji i równoważności
• definicja, twierdzenie, dowód

I. Liczby rzeczywiste

Wprowadzenie (1)

• Wszystko na temat liczb
  (Liczby naturalne, Liczby całkowite, Liczby wymierne, Liczby niewymierne)
• Cechy podzielności
• Systemy liczbowe
• Rozwiniecie dziesiętne

Zbiory i przedziały (1)

• Zbiory, zbiory liczbowe, oś liczbowa, przedziały, podzbiór, zbiory skończone i nieskończone ….
• Przedział otwarty, domknięty, nieograniczony
• Działania na zbiorach
• Działania na przedziałach

Wartość bezwzględna (1)
Własności wartości bezwzględnej (1)
Procenty, Punkt procentowy (1)
Przybliżenia, błąd bezwzględny i błąd względny oraz szacowanie

Potęga (1)

• o wykładniku naturalnym, całkowitym i całkowitym ujemnym
• **notacja wykładnicza
• prawa działań na potęgach
• o wykładniku wymiernym
• o wykładniku rzeczywistym
• ? monotoniczność potęgowania (?)

Pierwiastek (1)
(kwadratowy, sześcienny, pierwiastek iloczynu i ilorazu, pierwiastek n-tego stopnia, pierwiastek nieparzystego stopnia z liczb ujemnych)

Logarytm i jego własności (1) [2]

• Pojęcie logarytmu i logarytmu dziesiętnego
• Twierdzenia o: logarytmie iloczynu, logarytmie ilorazu, logarytmie potęgi,
• ** wzór na zamianę podstawy logarytmu

II. Wyrażenia algebraiczne

Wprowadzenie (1) [1]

• jednomian, jednomian uporządkowany, jednomiany podobne, suma algebraiczna,
• przekształcanie i działania na wyrażeniach algebraicznych (redukcja wyrazów podobnych, dodawanie i odejmowanie sum, mnożenie przez jednomian, mnożenie sum i doprowadzanie do prostej postaci, wyłączanie wspólny czynnik przed nawias)

Wzory skróconego mnożenia (1)
(do kwadratu, do sześcianu, dla n-tych potęg)

Twierdzenia i dowiedzenia twierdzeń (1)

• definicja twierdzenia w formie implikacji i równoważności
• założenie i teza
• zasada dowodzenia metodą wprost i nie wprost
• różnica pomiędzy twierdzeniem, a hipotezą

Silnia
Symbol Newtona – algebraiczne właściwości
Zwór dwumianowy Newtona
Trójkąt Pascala

Wielomiany (2)

• jednomian, wielomian stopnia n, wielomiany równe, wielomian zerowy, dwumian, trójmian trójmian kwadratowy
• wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej
• dodawania, odejmowani i mnożenie wielomianów
• rozkład wielomianu na czynniki [2]
• ^ wzór skróconego mnożenia stopnia 3
• wyłączenie jednomianu przed nawias
• podzielność wielomianów:
  – dzielenie wielomianów przez dwumian linowy – Schemat Hornera
  – dzielenie wielomianów przez wielomian stopnia większego od 1
  – pierwiastek wielomianu – Twierdzenie Bezouta
  – pierwiastki wymierne wielomianu
  – pierwiastki wielokrotne

• ? Wyrażenia wymierne
• ^ Równania wielomianowe
• ^ Równania wielomianowe z parametrem
• ^ Nierówności wielomianowe
• ^ Funkcje wielomianowe

III. Równania i nierówności oraz układy równań

Rozwiązanie równania i nierówności  (1)

• pojęcie równania, równania równoważne, równania tożsamościowe, równania sprzeczne, postać proporcji, sposoby przekształcania równań,
• ^ wartość bezwzględna
• wielkość proporcjonalna i odwrotnie proporcjonalna
• pojęcie nierówności, zbiór rozwiązań nierówności, nierówność równoważna,
• interpretacja geometryczna wartości 

Układy równań

• Rozwiązywanie układów równań: metodą podstawiania i metodą przeciwnych współczynników
• Równania liniowe z dwiema niewiadomymi
• Układy oznaczone, nieoznaczone i sprzeczne,
• Analiza zadania tekstowego
  Równania liniowe i nierówność liniowa z parametrami (?2)

Równania kwadratowe

• pojęcie równania kwadratowego
• wzór na wyróżnik równania kwadratowego – obliczanie delty
• wzór na rozwiązania równania kwadratowego
• wzory Viète’a

• równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą (2)
• równania sprowadzalne do równań kwadratowych [2]
• równania i nierówności kwadratowe z parametrem [2]
• równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną i parametrem [2]

• Równania wielomianowe (2)
• Równania wymierne (2)
• Nierówności wielomianowe [2]
• Nierówności wymierne [2]
• Równania i nierówności z wartością bezwzględną [2]
• ^własności wartości bezwzględnej
• Układy równań drugiego stopnia [2]
• ^ równania i nierówności wykładnicze (3)
• ^ równania logarytmiczne (3)

• Algebraiczne metody rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi (1) [1]
• Graficzna metoda rozwiązywania układów równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi [1]
• Interpretacja geometryczna układu równań liniowych (1)
• ?Równania kwadratowe z jedną niewiadomą [1]
• ?Nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą [1]
• ?Układy równań drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi (2)

IV. Funkcje

• Pojęcie funkcji (1)
• Sposoby opisywania funkcji [1]
• Dziedzina funkcji liniowej, argument, wartość funkcji,
• Zbiór wartości funkcji, wartość w punkcji,  największa i najmniejsza wartość, miejsce zerowe,
• Monotoniczność funkcji, funkcja rosnąca malejąca i stała
• Szkicowanie wykresu funkcji (1) [1]
• Odczytywanie wartości z wykresu
• Funkcje różnowartościowe

• Wektor
  ** wektory na płaszczyźnie i w układzie współrzędnych, początek i koniec wektora, wektor zerowy, kierunek, zwrot długość, działania na wektorach

Przekształcenia wykresów funkcji (1)
(przesunięcie równoległe wzdłuż osi OX, przesuniecie równoległe wzdłuż osi OY, symetria środka,symetria osiowa)

Funkcja liniowa (1) [1]

• proporcjonalność prosta i odwrotna
• wykres, miejsce zerowe
• współczynnik kierunkowy
• położenie dwóch prostych na płaszczyźnie
• i wiele więcej ???

Funkcja kwadratowa (1)(2)

• postać ogólna i kanoniczna
• wykres funkcji kwadratowej, parabola
• ekstremum funkcji
• miejsce zerowe
• wzór funkcji kwadratowej w postaci iloczynowej
• szkicowanie wykresu funkcji
• wyznaczanie wzoru funkcji za podstawie własności
• badanie funkcji kwadratowej
• najmniejsza oraz największa wartość funkcji w przedziale domkniętym
• ^równania i nierówności kwadratowe
• wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną
• ^ wzory Viete
• ^ równania i nierówności kwadratowe z parametrem

Własności funkcji (1) [1]
(dla każdej funkcji z osobna)


Funkcja homograficzna [2]
Funkcja f(x)= a /x  [2]

Funkcja wykładnicza (3) [2]

• powtórka potęga o wykładniku rzeczywistym
• własność
• przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
• proste równania wykładnicze
• proste nierówności wykładnicze 

Funkcja logarytmiczna (3) [2]

• własności
• przekształcanie wykresu funkcji logarytmicznej
• ^ równania i nierówności logarytmiczne

Funkcje wielomianowe (2)

Analiza matematyczna

• ^ Granice ciągów
• granica funkcji [3]
• granica w punkcie
• granica jednostronna w punkcie
• granica w nieskończoności
• granica niewłaściwa
• ciągłość funkcji w punkcie
• ciągłość funkcji w zbiorze
• asymptoty wykresu funkcji
• pochodna funkcji w punkcie [3]
• ekstrema lokalne funkcji
• największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale
• ciągłość funkcji [3]
• zmienność funkcji

V. Planimetria + geometria płaska

Wprowadzenie – Punkt, prosta, odcinek, półprosta, kąt, figura wypukła, figura ograniczona
Odległość dwóch punktów, dwóch prostych, punku i prostej, symetralna odcinka, dwusieczna kąta
Wielokąty (1)
Twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa (1)

• Rodzaje trójkątów
• Kąty w trójkącie (1)
• Punkty specjalne w trójkącie (1)
• Trójkąty przystające (1)
• Trójkąty podobne (1)
• Trójkąty prostokątne (2)
• Twierdzenie Pitagorasa i odwrotne do niego
• Zastosowania trygonometrii w planimetrii (2)
• Wielokąty foremne (2)
• Czworokąty (2)
• Okrąg i koło
• Pole wycinka koła
• Długość okręgu i pole koła [2]
• Okrąg i prosta [2]
• Wzajemne położenie dwóch okręgów
• Twierdzenie o stycznej i siecznej
• Kąty i koła
• Kąty środkowe i kąty wpisane (2)
• Okrąg opisany na trójkącie i okrąg wpisany w trójkąt (2)
• Okrąg opisany na czworokącie i okrąg wpisany w czworokąt [2]
• Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów (2)

VI. Trygonometria

• Pojęcie miary konta
• Definicje funkcji trygonometrycznych (2)
• Wartości funkcji trygonometrycznych
• Definicje funkcji trygonometryczne kąta wypukłego [2]
• Związki między funkcjami trygonometrycznymi (2) [2]
• Twierdzenia sinusów i cosinusów
• Kąt obrotu [3]
• Miara łukowa kąta [3]
• Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta [3]
• Funkcje okresowe [3]
• Wykresy funkcji trygonometrycznych [3]
• Tożsamości trygonometryczne [3]
• Sinus, cosinus i tangens sumy i różnicy kątów [3]
• Wzory redukcyjne [3]
• Równania i nierówności trygonometryczne [3]

VII. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Układy współrzędnych

• odcinek w układzie współrzędnych
• współrzędne środka odcinak
• wektor w układzie współrzędnych [1]
• kąty pomiędzy niezerowymi wektorami {3}

Równanie prostej na płaszczyźnie (1) [1]

• kierunkowe prostej
• ogólne prostej
• równoległość i prostopadłość prostych (3)
• odległość między dwiema prostymi równoległymi
• odległość punktów w układzie współrzędnych, (3) [3]
• odległość punktu od prostej (3) [3]

• Pole trójkąta {3}
• Pole wielokąta {3}
• ^ Układy nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi [1]
• Zastosowanie układów równań do rozwiązywania zadań z geometrii analitycznej
• Równanie okręgu (3) [3]
• Nierówność opisująca koło
• Wzajemne położenie prostej i okręgu (3) [3]
• Styczna do okręgu
• Wzajemne położenie dwóch okręgów [3]
• Jednokładność
• Symetrie w układzie współrzędnych (3) [3]

VIII. Stereometria

• Proste i płaszczyzny w przestrzeni (4) [4]
• Rzut równoległy na płaszczyznę
• Prostopadłość prostych i płaszczyzn
• Rzut prostokąty na płaszczyznę
• Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych
• Kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny (4) [4]Graniastosłupy (4) [4]
• Ostrosłupy (4) [4]
• Siatka wielościanów
• Pole powierzchni wielościanów
• Objętość figur w przestrzeni
• Przekroje prostopadłościanów (4)
• Przekroje wielościanów [4]
• Bryły obrotowe (4) [4]
• (Pole powierzchni, objętość)
• Bryły podobne (4) [4]
• Zastosowania trygonometrii w stereometrii (4) [4]
• Zagadnienia optymalizacyjne [4]

IX. Ciągi

• Pojęcie ciągu (3)
• Ciągi określone rekurencyjnie (3)
• Monotoniczność ciągu (3)
• Ciąg arytmetyczny (3)
• Ciąg geometryczny (3)
• Granica ciągu [3]
• Szereg geometryczny [3]

X. Kombinatoryka

• Reguła mnożenia, reguła dodawania (?3)(4) [4]
• Permutacje, wariacje bez powtórzeń i z powtórzeniami, kombinacje [4]
• Wzór dwumianowy Newtona i trójkąt Pascala [4]

XI. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

• Doświadczenie losowe {3}
• Zdarzenia, działania na zdarzeniach {3}
• Odczytywanie i interpretacja danych statystycznych (3)
• Prawdopodobieństwo klasyczne (?3) (4) [4]
• Wartość oczekiwana (4) [4]
• Własności prawdopodobieństwa [4]
• Prawdopodobieństwo warunkowe [4]
• Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym i wzór Bayesa [4]
• Schemat Bernoullego [4]
• Niezależność zdarzeń

Statystyka

• Średnia arytmetyczna, mediana, dominanta
• Średnia ważona, odchylenie standardowe, wariancja
• Skala centylowa
• Średnia z próby
• Mediana z próby
• Moda z próby