Funkcje

Wyrażenia wymierne

Na tej stronie znajdziesz:

Spis treści

Słowem wstępu

PO co mi to?

Przydatne materiały

Dla nauczyciela

Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno, aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej, aby zrobić coś spoza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału).

czytaj więcej: O projekcie „Szkoła 4.0”

Słowem wstępu

Wyrażenia wymierne to wyrażenia algebraiczne, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Innymi słowy, są to wyrażenia, które wyglądają jak ułamki, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik są wielomianami:

Przykład wyrażenia wymiernego

Wyrażenie wymierne może wyglądać tak:

    \[\frac{2x + 3}{x^2 - 1}\]

W tym przypadku:

Licznik to x^2−1

Mianownik to x^2−1

Dlaczego to jest ważne?

Wyrażenia wymierne są użyteczne, ponieważ pomagają nam zrozumieć i pracować z bardziej skomplikowanymi funkcjami w matematyce. Są używane w różnych dziedzinach, takich jak fizyka, inżynieria, ekonomia i statystyka.

Jak upraszczać wyrażenia wymierne?

Rozkład na czynniki:
Najpierw spróbuj rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Na przykład:

       \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]

Skracanie:
Jeśli licznik i mianownik mają wspólne czynniki, możesz je skrócić. Pamiętaj jednak, że nie można skracać wyrażeń, jeśli mianownik staje się zerem w wyniku tej operacji. Przykład:

     \[ \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 3)} \]

Skracamy czynnik x-1

Skracamy czynnik

      \[ \frac{x + 2}{x + 3} \]

Ważne zasady

Unikaj mianownika zerowego:
Wyrażenie wymierne nie jest zdefiniowane, gdy mianownik jest równy zeru. Dlatego musimy zawsze upewnić się, że mianownik nie przyjmuje wartości 0. W przykładzie

\( \frac{x + 2}{x + 3} \)

wyrażenie to nie jest zdefiniowane dla x=−3

Praca z równaniami wymiernymi: Podczas rozwiązywania równań wymiernych, możesz mieć do czynienia z równaniami, które zawierają wyrażenia wymierne po obu stronach. Często warto pomnożyć obie strony równania przez wspólny mianownik, aby pozbyć się ułamków.

Przykładowe zadanie

Uprość wyrażenie:

    \[ \frac{x^2 - 4}{2x + 4} \]

Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki:

      \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{2(x + 2)} \]

Skracamy wspólny czynnik x+2

    \[ \frac{x - 2}{2} \]

W uproszczeniu

Wyrażenia wymierne to ułamki, które zawierają literki (zwykle x) zarówno w liczniku (górna część ułamka), jak i w mianowniku (dolna część ułamka).

Wyobraź sobie taki ułamek:

    \[ \frac{2x + 3}{x^2 - 1} \]

Licznik to (2x + 3)(górna część ułamka)

Mianownik to(x^2 - 1)(dolna część ułamka)

Wyrażenia wymierne uczą nas, jak radzić sobie z bardziej złożonymi wyrażeniami matematycznymi. To ważne, ponieważ pomagają nam w nauce wielu dziedzin, takich jak nauki ścisłe i finanse.

Jak upraszczać wyrażenia wymierne?

Rozkładanie na prostsze części:
Możemy spróbować rozłożyć licznik i mianownik na prostsze części. Na przykład:

     \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \]

Skracanie:
Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik mają wspólne części, możemy je „skrócić”. Na przykład:

      \[ \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 3)} \]

Możemy skrócić (x – 1), co daje:

      \[ \frac{x + 2}{x + 3} \]

Ważne zasady:

Unikaj mianownika zerowego:
Upewnij się, że mianownik (dolna część ułamka) nie jest równy zeru, ponieważ dzielenie przez zero jest niemożliwe. Na przykład, w wyrażeniu

\( \frac{x + 2}{x + 3} \)

musimy upewnić się, że  \( x \neq -3 \)

Wyrażenia wymierne mogą wyglądać skomplikowanie, ale są jak zwykłe ułamki, które znamy i rozumiemy. Ćwiczenie ich upraszczania pomoże nam lepiej zrozumieć matematykę i ułatwi naukę w przyszłości!

Po co mi to?

Wyrażenia wymierne mogą wydawać się skomplikowane, ale są naprawdę ważne i użyteczne w wielu dziedzinach życia i nauki. Oto kilka powodów, dla których warto je znać:

  1. Codzienne życie:
    • Finanse osobiste: Kiedy obliczasz odsetki od oszczędności lub raty kredytu, używasz zasad matematyki, w tym wyrażeń wymiernych.
    • Gotowanie: Czasami musisz dostosować przepis, zmieniając ilość składników proporcjonalnie. Wyrażenia wymierne pomagają w takich obliczeniach.
  2. Nauka i technologia:
    • Fizyka: W fizyce wiele wzorów zawiera wyrażenia wymierne. Na przykład, prawa ruchu Newtona mogą być przedstawiane za pomocą takich wyrażeń.
    • Chemia: W chemii równania reakcji chemicznych i obliczenia stężeń roztworów często wymagają użycia wyrażeń wymiernych.
    • Inżynieria: Inżynierowie używają wyrażeń wymiernych do projektowania mostów, budynków, samochodów i wielu innych rzeczy. Pomagają one w precyzyjnych obliczeniach, które są niezbędne, aby wszystko działało bezpiecznie i efektywnie.
  3. Rozwój umiejętności matematycznych:
    • Rozwiązywanie problemów: Nauka wyrażeń wymiernych rozwija umiejętności logicznego myślenia i rozwiązywania problemów, które są ważne nie tylko w matematyce, ale również w codziennym życiu i przyszłej pracy.
    • Podstawa dla zaawansowanej matematyki: Wyrażenia wymierne są podstawą wielu bardziej zaawansowanych tematów matematycznych, takich jak algebra, analiza matematyczna i statystyka. Znając je, łatwiej będzie Ci zrozumieć bardziej skomplikowane zagadnienia w przyszłości.
  4. Komputery i programowanie:
    • Algorytmy i struktury danych: Programiści często używają wyrażeń wymiernych w algorytmach i strukturach danych. Pomaga to w optymalizacji kodu i rozwiązywaniu problemów komputerowych.
  5. Nauki społeczne:
    • Ekonomia i biznes: Ekonomiści i analitycy biznesowi używają wyrażeń wymiernych do analizowania danych, przewidywania trendów i podejmowania decyzji na podstawie różnych scenariuszy.

Znajomość wyrażeń wymiernych pomaga lepiej zrozumieć i radzić sobie z wieloma codziennymi sytuacjami oraz daje solidne podstawy do nauki bardziej zaawansowanych tematów. To umiejętność, która przyda się nie tylko w szkole, ale również w przyszłym życiu zawodowym i osobistym.

Nie samą nauką uczeń żyje …

Ile trzeba mieć lat aby skonstruować reaktor jądrowy?
Wystarczy 12! Jeśli tyle skończyłeś to dzięki wiedzy zdobytej m.in na tej stronie będziesz w stanie zbudować reaktor fuzyjny tak jak to uczynił Jackson Oswalt z Memphis. W sztucznym słońcu chłopiec wykorzystał dwa atomy deuteru, które połączyły się i stworzyły atom helu-3 i uwolniły jeden neutron, co z kolei nagrzało wodę. Nagrzana woda może napędzić turbinę elektryczną. (źródło)

Kilka ciekawostek

epodrecznik.pl – Odkrycie i historia liczb niewymiernych

Przydatne materiały

Pozostałe materiały:

Matemaks – wyrażenia wymierne

Pitacja – uprość wyrażenie

Khanacademy – wprowadzenie do wyrażeń wymiernych

ZPE – skracanie wyrażeń wymiernych

Spis wszystkich tematów z matematyki


Lista wszystkich naszych źródeł:

Dla nauczycieli

Jeżeli posiadasz materiały, które mogą ułatwić pracę innym nauczycielom (twojego autorstwa lub które możesz legalnie udostępnić) to proszę podziel się nimi w tej ankiecie. W razie pytań lub jeśli wyrażasz chęć współpracy, skontaktuj się z nami na FundacjaCALMedu@grzegorzczekala.pl.

Zostaw swoją ocenę
Poprzedni Następny

Jest tego więcej...


					Zbiory, podzbiory liczbowe i przedziały - podzielić na trzy - w rozbudowie Szkoła 4.0

Zbiory, podzbiory liczbowe i przedziały - podzielić na trzy - w rozbudowie

oś liczbowa i sporo zadań

Na tej stronie znajdziesz: Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej aby zrobić coś z poza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału). czytaj więcej: […]


					Liczniki PLC PLC

Liczniki PLC

Counter CTU, CTD, CTUD

Wstawianie liczników W celu wstawienia licznika do networku wystarczy wybrać dowolny z folderu „Counter operations” i kliknąć OK. Jeżeli chcesz tworzyć bardziej przejrzysty program przed kliknięciem „OK” możesz zmienić sugerowaną nazwę, która wyświetla się w wyskakującym oknie „Call options” np. „Licznik1”, „Zliczanie kliknięć” itp Do czego tak naprawdę służy okno „Call options”? To okno służy […]


					Mam CV i co dalej? Inne

Mam CV i co dalej?

Wszystko na temat CV cz.2

Ten post jest kontynuacją obszernego tekstów w którym bardzo szczegółowo instruuję w jaki sposób możesz przygotować swoje CV inżynierskie, które zachwyci każdego pracodawcę, nawet jeżeli nie masz doświadczenia do wpisania. Dlatego nim przejdziesz do tego artykułu koniecznie zapoznaj się wcześniej z tym tekstem:CV studenta politechniki Stwórz listę firm w których chcesz pracować Przed wysłaniem pierwszego […]


					Dokumenty Fundacji Inne

Dokumenty Fundacji

Statut, raporty, uchwały i sprawozdania

Cele fundacji (wycinek z statutu dostępnego poniżej) § 4.Cele Fundacji Dokumenty Statut fundacji Pakiet dokumentów za 2021 Pakiet dokumentów za 2020 rok SM za 2019, SF za 2019, Uchwała 2019


					Jak pomagać? Streszczenie Nasze projekty

Jak pomagać? Streszczenie

dla zabieganych

Kompendium wiedzy o udzielaniu pomocy Ukraińcom Ten artykuł to wyłącznie streszczenie obszernego tekstu, który znajdziesz pod tym linkiem Jak pomagać Ukraińcom z głową. Jeżeli chcesz zgłębić ten temat koniecznie go przeczytaj w całości. Jeśli jednak nie lubisz zbyt długich Oryginalny tekst powstał po rozmowach z osobami zarządzającymi akacjami pomocowymi na terenie Gliwic: Leszek Losza (Centrum […]


					Zadania PLC - cewki i styki PLC

Zadania PLC - cewki i styki

Proste zadania aby utrwalić swoją wiedzę

Te zadania PLC kierowane są dla początkujących programistów. W tej prezentacji zamieściliśmy dla Ciebie kilka prostych „wyzwań” na łatwym poziomie ale wymagających kreatywnego podejścia, dzięki którym: Jeśli naprawdę chcesz nauczyć się programować sterowniki PLC to postaraj się wszystkie zadania rozwiązywać samodzielnie. Jeżeli już je rozwiązałeś albo nie wiesz jak ruszyć to dopiero wtedy kliknij aby […]


					Marek Witański - CALM talks Inne

Marek Witański - CALM talks

Marek Witański

Jeżeli nie wiesz czym jest projekt CALM talks to zapraszam na tą stronę – „CALM talks – porozmawiajmy o edukacji”. Tam także znajdziesz pełne pytania, na które tu znajdziesz odpowiedzi. Poniżej zamieszczamy podsumowanie wszystkich – naszym zdaniem – najciekawszych wypowiedzi udzielonych w tym projekcie. Pełna lista wszystkich wypowiedzi jest dostepna pod tym linkiem – „CALM […]


					#Biola Szkoła 4.0

#Biola

Wprowadzenie - Przedmiot biologia

Jeszcze uzupełniamy treści – wróć tutaj jutro.


					Potęgi Szkoła 4.0

Potęgi

potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym i całkowitym ujemnym

Na tej stronie znajdziesz: Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno, aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej, aby zrobić coś spoza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału). czytaj więcej: O […]


					Zespół CALM edu Inne

Zespół CALM edu

Kim jesteśmy

Grzegorz Czekała – założyciel fundacji, autor większości tekstów na tej stronie. Zawodowo związany z edukacją techniczną, a w wolnych czasie z edukacją wszelaką, podróżami i aktywnościami na świeżym powietrzu. Karolina Jaenchen – główny grafik, pomysłodawca wszystkich „logosów”, identyfikacji wizualnej …. osoba odpowiedzialna za to, aby było ładnie. Prywatnie osoba, dla której jedno miejsce to za […]


					Edukacja 4.0 Artykuły

Edukacja 4.0

Przyszłość edukacji

O czym mowa w tym poście? O „Edukacja przyszłości”, „Nowoczesna edukacja”, „Edukacji na miarę XXI w.” czyli „Edukacji 4.0” W jakim świecie żyjemy? Żyjemy w świcie w którym pracodawcy oczekują się od nas kreatywności, innowacyjności (umiejętność wdrażania nowych rozwiązań), umiejętności szybkiego uczenia się abyśmy mogli wdrażać technologie Industry 4.0 (przemysłu czwartej generacji). Natomiast szkoły od […]


					Historia maszyny parowej Artykuły

Historia maszyny parowej

i ewolucja zasady działania

Po kilku bardzo ciemnych wiekach w Europie (świat rozwijał się wtedy na Wschodzie tym bliższym i dalszym), zwanych dzisiaj Średniowieczem, gdzie całą swoją uwagę poświęcaliśmy wysławianiu Boga. Budowaniu ku jego chwale świątyń (dla architektury i budownictwa wcale to nie był ciemny okres) oraz wymyślaniu machin wojennych, aby mordować tych, którzy nie chcieli wierzyć w naszego […]

Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Zamknij