Funkcje

Na tej stronie znajdziesz:

Spis treści

Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno, aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej, aby zrobić coś spoza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału).

czytaj więcej: O projekcie „Szkoła 4.0”

Słowem wstępu

Wyrażenia wymierne to wyrażenia algebraiczne, które można zapisać w postaci ilorazu dwóch wielomianów. Innymi słowy, są to wyrażenia, które wyglądają jak ułamki, gdzie zarówno licznik, jak i mianownik są wielomianami:

Przykład wyrażenia wymiernego

Wyrażenie wymierne może wyglądać tak:

$\frac{2x + 3}{x^2 - 1}$

W tym przypadku:

Licznik to $x^2−1$

Mianownik to $x^2−1$

Dlaczego to jest ważne?

Wyrażenia wymierne są użyteczne, ponieważ pomagają nam zrozumieć i pracować z bardziej skomplikowanymi funkcjami w matematyce. Są używane w różnych dziedzinach, takich jak fizyka, inżynieria, ekonomia i statystyka.

Jak upraszczać wyrażenia wymierne?

Rozkład na czynniki:
Najpierw spróbuj rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. Na przykład:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Skracanie:
Jeśli licznik i mianownik mają wspólne czynniki, możesz je skrócić. Pamiętaj jednak, że nie można skracać wyrażeń, jeśli mianownik staje się zerem w wyniku tej operacji. Przykład:

$\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 3)}$

Skracamy czynnik $x-1$

Skracamy czynnik

$\frac{x + 2}{x + 3}$

Ważne zasady

Unikaj mianownika zerowego:
Wyrażenie wymierne nie jest zdefiniowane, gdy mianownik jest równy zeru. Dlatego musimy zawsze upewnić się, że mianownik nie przyjmuje wartości 0. W przykładzie

$\frac{x + 2}{x + 3}$

wyrażenie to nie jest zdefiniowane dla x=−3

Praca z równaniami wymiernymi: Podczas rozwiązywania równań wymiernych, możesz mieć do czynienia z równaniami, które zawierają wyrażenia wymierne po obu stronach. Często warto pomnożyć obie strony równania przez wspólny mianownik, aby pozbyć się ułamków.

Przykładowe zadanie

Uprość wyrażenie:

$\frac{x^2 - 4}{2x + 4}$

Rozkładamy licznik i mianownik na czynniki:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{2(x + 2)}$

Skracamy wspólny czynnik x+2

$\frac{x - 2}{2}$

W uproszczeniu

Wyrażenia wymierne to ułamki, które zawierają literki (zwykle x) zarówno w liczniku (górna część ułamka), jak i w mianowniku (dolna część ułamka).

Wyobraź sobie taki ułamek:

$\frac{2x + 3}{x^2 - 1}$

Licznik to $(2x + 3)$ (górna część ułamka)

Mianownik to $(x^2 - 1)$ (dolna część ułamka)

Wyrażenia wymierne uczą nas, jak radzić sobie z bardziej złożonymi wyrażeniami matematycznymi. To ważne, ponieważ pomagają nam w nauce wielu dziedzin, takich jak nauki ścisłe i finanse.

Jak upraszczać wyrażenia wymierne?

Rozkładanie na prostsze części:
Możemy spróbować rozłożyć licznik i mianownik na prostsze części. Na przykład:

$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Skracanie:
Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik mają wspólne części, możemy je „skrócić”. Na przykład:

$\frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 3)}$

Możemy skrócić (x – 1), co daje:

$\frac{x + 2}{x + 3}$

Ważne zasady:

Unikaj mianownika zerowego:
Upewnij się, że mianownik (dolna część ułamka) nie jest równy zeru, ponieważ dzielenie przez zero jest niemożliwe. Na przykład, w wyrażeniu

$\frac{x + 2}{x + 3}$

musimy upewnić się, że $x \neq -3$

Wyrażenia wymierne mogą wyglądać skomplikowanie, ale są jak zwykłe ułamki, które znamy i rozumiemy. Ćwiczenie ich upraszczania pomoże nam lepiej zrozumieć matematykę i ułatwi naukę w przyszłości!

Po co mi to?

Wyrażenia wymierne mogą wydawać się skomplikowane, ale są naprawdę ważne i użyteczne w wielu dziedzinach życia i nauki. Oto kilka powodów, dla których warto je znać:

Codzienne życie:
- Finanse osobiste: Kiedy obliczasz odsetki od oszczędności lub raty kredytu, używasz zasad matematyki, w tym wyrażeń wymiernych.
- Gotowanie: Czasami musisz dostosować przepis, zmieniając ilość składników proporcjonalnie. Wyrażenia wymierne pomagają w takich obliczeniach.
Nauka i technologia:
- Fizyka: W fizyce wiele wzorów zawiera wyrażenia wymierne. Na przykład, prawa ruchu Newtona mogą być przedstawiane za pomocą takich wyrażeń.
- Chemia: W chemii równania reakcji chemicznych i obliczenia stężeń roztworów często wymagają użycia wyrażeń wymiernych.
- Inżynieria: Inżynierowie używają wyrażeń wymiernych do projektowania mostów, budynków, samochodów i wielu innych rzeczy. Pomagają one w precyzyjnych obliczeniach, które są niezbędne, aby wszystko działało bezpiecznie i efektywnie.
Rozwój umiejętności matematycznych:
- Rozwiązywanie problemów: Nauka wyrażeń wymiernych rozwija umiejętności logicznego myślenia i rozwiązywania problemów, które są ważne nie tylko w matematyce, ale również w codziennym życiu i przyszłej pracy.
- Podstawa dla zaawansowanej matematyki: Wyrażenia wymierne są podstawą wielu bardziej zaawansowanych tematów matematycznych, takich jak algebra, analiza matematyczna i statystyka. Znając je, łatwiej będzie Ci zrozumieć bardziej skomplikowane zagadnienia w przyszłości.
Komputery i programowanie:
- Algorytmy i struktury danych: Programiści często używają wyrażeń wymiernych w algorytmach i strukturach danych. Pomaga to w optymalizacji kodu i rozwiązywaniu problemów komputerowych.
Nauki społeczne:
- Ekonomia i biznes: Ekonomiści i analitycy biznesowi używają wyrażeń wymiernych do analizowania danych, przewidywania trendów i podejmowania decyzji na podstawie różnych scenariuszy.

Znajomość wyrażeń wymiernych pomaga lepiej zrozumieć i radzić sobie z wieloma codziennymi sytuacjami oraz daje solidne podstawy do nauki bardziej zaawansowanych tematów. To umiejętność, która przyda się nie tylko w szkole, ale również w przyszłym życiu zawodowym i osobistym.

Nie samą nauką uczeń żyje …

Ile trzeba mieć lat aby skonstruować reaktor jądrowy?
Wystarczy 12! Jeśli tyle skończyłeś to dzięki wiedzy zdobytej m.in na tej stronie będziesz w stanie zbudować reaktor fuzyjny tak jak to uczynił Jackson Oswalt z Memphis. W sztucznym słońcu chłopiec wykorzystał dwa atomy deuteru, które połączyły się i stworzyły atom helu-3 i uwolniły jeden neutron, co z kolei nagrzało wodę. Nagrzana woda może napędzić turbinę elektryczną. (źródło)

Kilka ciekawostek

epodrecznik.pl – Odkrycie i historia liczb niewymiernych

Przydatne materiały

Pozostałe materiały:

Matemaks – wyrażenia wymierne

Pitacja – uprość wyrażenie

Khanacademy – wprowadzenie do wyrażeń wymiernych

ZPE – skracanie wyrażeń wymiernych

Spis wszystkich tematów z matematyki

Lista wszystkich naszych źródeł:

Platformy do nauki matematyki

Dla nauczycieli

Jeżeli posiadasz materiały, które mogą ułatwić pracę innym nauczycielom (twojego autorstwa lub które możesz legalnie udostępnić) to proszę podziel się nimi w tej ankiecie. W razie pytań lub jeśli wyrażasz chęć współpracy, skontaktuj się z nami na FundacjaCALMedu@grzegorzczekala.pl.

Zostaw swoją ocenę

array(13) { ["blog-link"]=> string(32) "https://grzegorzczekala.pl/blog/" ["education-link"]=> string(35) "https://grzegorzczekala.pl/calmedu/" ["schools-link"]=> string(37) "https://grzegorzczekala.pl/dla-szkol/" ["companies-link"]=> string(36) "https://grzegorzczekala.pl/dla-firm/" ["blog-reco-categories"]=> array(6) { [0]=> int(5) [1]=> int(7) [2]=> int(6) [3]=> int(9) [4]=> int(8) [5]=> int(10) } ["edu-reco-categories"]=> array(5) { [0]=> int(21) [1]=> int(25) [2]=> int(26) [3]=> int(24) [4]=> int(23) } ["schools-reco-categories"]=> array(1) { [0]=> int(72) } ["companies-reco-categories"]=> array(1) { [0]=> int(74) } ["blog-sorting"]=> string(6) "losowy" ["edu-sorting"]=> string(6) "losowy" ["schools-sorting"]=> string(6) "losowy" ["companies-sorting"]=> string(6) "losowy" ["categories-id"]=> array(4) { [0]=> array(2) { ["id"]=> array(1) { [0]=> int(5) } ["slug"]=> string(4) "blog" } [1]=> array(2) { ["id"]=> array(1) { [0]=> int(21) } ["slug"]=> string(3) "edu" } [2]=> array(2) { ["id"]=> array(1) { [0]=> int(74) } ["slug"]=> string(9) "companies" } [3]=> array(2) { ["id"]=> array(1) { [0]=> int(72) } ["slug"]=> string(7) "schools" } } }

Poprzedni Następny

edu, 21, int(78)

Jest tego więcej...

Artykuły

Edukacja 4.0

Przyszłość edukacji

#CALMbook #dlaNauczyciela #edukacja4.0 #szkoła4.0

O czym mowa w tym poście? O „Edukacja przyszłości”, „Nowoczesna edukacja”, „Edukacji na miarę XXI w.” czyli „Edukacji 4.0” W jakim świecie żyjemy? Żyjemy w świcie w którym pracodawcy oczekują się od nas kreatywności, innowacyjności (umiejętność wdrażania nowych rozwiązań), umiejętności szybkiego uczenia się abyśmy mogli wdrażać technologie Industry 4.0 (przemysłu czwartej generacji). Natomiast szkoły od […]

PLC

Watch Table w TIA Portal

Tablica podglądania zmiennych

#TIA

Po co mi to? Jak sama nazwa wskazuje, watch table służy do modyfikowania zmiennych (oraz ich podglądania). 😉 Tym samym przyda Ci się do sprawdzania stanów zmiennych, szukania błędów w programie, wysyłania wartości temperatur, prędkości obrotowych czy liczby sztuk do wyprodukowania do maszyn. Wszędzie Ci się przyda! Wstawianie nowej Watch table W projekcie domyślnie nie […]

Inne

Zespół CALM edu

Kim jesteśmy

#wprowadzenie

Grzegorz Czekała – założyciel fundacji, autor większości tekstów na tej stronie. Zawodowo związany z edukacją techniczną, a w wolnych czasie z edukacją wszelaką, podróżami i aktywnościami na świeżym powietrzu. Karolina Koza – architektka z zawodu, projektantka aplikacji webowych z pasji, a po godzinach aktywna instruktorka ZHP. Uwielbia podróże, architekturę i kontakt z ludźmi – zawsze […]

Szkoła 4.0

Wartość bezwzględna

Jak daleko od zera?

#Mata rzeczywiste

Na tej stronie znajdziesz: Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno, aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej, aby zrobić coś spoza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału). czytaj więcej: O […]

Artykuły

Historia automatyzacji

Starożytność

#historia

Ktesibios – Pierwszy układ regulacji Pierwszy układ regulacji, który udało mi się potwierdzić w kilku źródłach był ten skonstruowany przez Ktesibiosa (gr. Κτησίβιος ὁ Ἀλεξανδρεύς, ur. 285 p.n.e., zm. 228 p.n.e.) wielkiego greckiego uczonego i konstruktora. Przez wielu nazywany ojcem pneumatyki, a przez innych nawet ojcem inżynierii, który początkowo prawdopodobnie zarabiał jako fryzjer, bo taki […]

Bez kategorii Szkoła 4.0

Wielomiany

dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów

#Mata #wielomiany

Na tej stronie znajdziesz: Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej aby zrobić coś z poza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału). czytaj więcej: […]

PLC

Zadania PLC - Zliczanie uczniów

Proste zadania aby utrwalić swoją wiedzę

#podstawy #TIA #zadanie

Co musisz znać, aby wykonać to zadanie? Wiesz na czym polega detekcja zbocza Jak wyznaczać wolne zakresy w pamięci markerów Wiedzieć jak korzystać z bloczków matematycznych Potrafić konfigurować komparatory Zadania PLC dla początkujących programistów Sygnalizacja liczby uczniów Wykorzystując dotychczas poznane bloczki, stwórz układ, który posłuży nam do zliczenia, ile uczniów weszło już do sali. W […]

Inne

Autonomiczne ogrody wertykalne

Zazieleńmy miasta

#dlaKlimatu #IDEAmarket

A gdyby tak: wszystkie ogrodzenia w miastach, w szczególności wokół szkół, przedszkoli czy placów zabaw zamienić na zielone ściany? wszystkie puste ściany kamienic czy nawet bloków mieszkalnych przeobrazić w zielone murale? wszystkie ekrany akustyczne przy drogach zamienić na zielone dzieła sztuki? wokół parków, przy skwerach, na przystankach i wszelakich zaniedbanych nieużytkach poustawiać podobne konstrukcje? do […]

Szkoła 4.0

#FIZA

Wprowadzenie - Przedmiot fizyka

Jeszcze uzupełniamy treści – wróć tutaj jutro.

PLC

Funkcje w programie PLC

cegiełki programowe

#TIA

Dotychczas cały program tworzyliśmy w jednym miejscu, czyli wewnątrz bloku programu głównego – OB1. Jednak pisanie tak dużego programu z wieloma networkami, na przykład 1236 networków, staje się trudne do analizy. Odrobina historii Już w 1843 roku Ada Lovelace zauważyła tę trudność podczas tłumaczenia opisu działania mechanicznej maszyny analitycznej Charlesa Babbage’a, która ostatecznie nigdy nie […]

Szkoła 4.0

#Infa

Wprowadzenie do technologii informacyjnych

#Infa

Strona w rozbudowie – Jesteśmy w trakcie uzupełniania treści – rzuć okiem na to co już jest i wróć tutaj jutro. Czego powinniśmy uczyć się na lekcjach informatyki? Naszym zdaniem informatyka w nowoczesnym społeczeństwie jak sama nazwa wskazuje powinna koncentrować się po pierwsze na pozyskiwaniu wartościowych rzetelnych informacji w internecie, a po drugie dopiero uczyć […]

Szkoła 4.0

Notacja wykładnicza

zapisywanie liczb w postaci iloczynu liczby rzeczywistej i potęgi dziesięciu

#Mata #potegi #wykładnicza

Current ye@r *

0 komentarzy

Inline Feedbacks

View all comments

Na tej stronie znajdziesz:

Spis treści

Słowem wstępu

Przykład wyrażenia wymiernego

Dlaczego to jest ważne?

Jak upraszczać wyrażenia wymierne?

Ważne zasady

Przykładowe zadanie

W uproszczeniu

Jak upraszczać wyrażenia wymierne?

Ważne zasady:

Po co mi to?

Nie samą nauką uczeń żyje …

Przydatne materiały

Pozostałe materiały:

Dla nauczycieli

Jest tego więcej...

Edukacja 4.0

Watch Table w TIA Portal

Zespół CALM edu

Wartość bezwzględna

Historia automatyzacji

Wielomiany

Zadania PLC - Zliczanie uczniów

Autonomiczne ogrody wertykalne

#FIZA

Funkcje w programie PLC

#Infa

Notacja wykładnicza

Twoja opinia