Funkcje

Funkcje wielomianowe

Na tej stronie znajdziesz:

Spis treści

Słowem wstępu

PO co mi to?

Przydatne materiały

Dla nauczyciela

Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno, aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej, aby zrobić coś spoza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału).

czytaj więcej: O projekcie „Szkoła 4.0”

Słowem wstępu

Funkcje wielomianowe to podstawowy rodzaj funkcji, który jest bardzo często spotykany w matematyce, zwłaszcza w szkole średniej. Oto kilka kluczowych punktów, które mogą pomóc w zrozumieniu i nauczaniu funkcji wielomianowych:

Definicja i postać ogólna:

Funkcja wielomianowa to funkcja matematyczna, która jest sumą wielomianów, czyli wyrażeń składających się z jednej lub więcej zmiennych podniesionych do całkowitych potęg (włącznie z zerem), pomnożonych przez współczynniki, które są stałymi. W postaci ogólnej wielomian stopnia n wygląda tak:

f(x)=a_nx^n+a_{n−1}x^{n−1}+⋯+a_{1x}+a_0​

gdzie:

a_n, a_{n-1},​…,a_1, a_0to współczynniki (przy czym a_n≠0

n to stopień wielomianu (najwyższa potęga zmiennej x).

Przykłady:

Funkcja liniowa: f(x)=2x+1 (wielomian stopnia 1)
Funkcja kwadratowa: f(x)=x^2−4x+4 (wielomian stopnia 2)
Funkcja sześcienna: f(x)=x^3−3x^2+3x−1 (wielomian stopnia 3)

Własności funkcji wielomianowych:
  1. Wielomiany są ciągłe na całej osi liczbowej.
  2. Są różniczkowalne na całej osi liczbowej, co oznacza, że można obliczyć ich pochodne.
  3. Zachowanie na końcach przedziałów: gdy x dąży do nieskończoności lub minus nieskończoności, funkcja wielomianowa o nieparzystym stopniu będzie dążyć odpowiednio do nieskończoności i minus nieskończoności; wielomiany parzystego stopnia dążą do nieskończoności z obu stron.
Miejsca zerowe:

Miejsca zerowe wielomianu to takie wartości z, dla których f(x)=0. Znalezienie tych miejsc jest istotne w wielu zastosowaniach matematycznych, jak rozwiązywanie równań.

Zastosowanie:

Funkcje wielomianowe są używane w różnych dziedzinach, takich jak fizyka, ekonomia, biologia, inżynieria, itp., gdzie służą do modelowania zjawisk, prognozowania trendów czy w obliczeniach inżynierskich.

W uproszczeniu

Funkcje wielomianowe to rodzaj funkcji matematycznych, które mogą wydawać się skomplikowane, ale są bardzo przydatne i można je łatwo zrozumieć, zaczynając od podstaw. Oto kilka kluczowych informacji, które pomogą ci zrozumieć, czym są funkcje wielomianowe:

Co to jest funkcja wielomianowa?

Funkcja wielomianowa to sposób, w jaki możemy zapisać zależność między dwiema liczbami za pomocą działań takich jak dodawanie, odejmowanie, mnożenie i potęgowanie.

Postać funkcji wielomianowej:

Wielomiany mają specjalną formę, którą można zapisać tak:

 f(x)=ax^n+bx^{n−1}+cx^{n−2}+…+dx+e

gdzie:

  • x to zmienna, którą możemy dowolnie zmieniać,
  • a, b, c, d, e to liczby (zwane współczynnikami),
  • n to najwyższa potęga x (nazywana stopniem wielomianu).
Proste przykłady:

Funkcja liniowa (prosta):f(x)=2x+3

Funkcja kwadratowa (parabola):f(x)=x^2+2x+1

Jak to działa?

Wyobraź sobie, że masz funkcję f(x)=2x+3. Gdy podstawić różne liczby za x, to funkcja obliczy dla nas wynik. Na przykład:

  • Jeśli x=1 to f(1)=2(1)+3=5
  • Jeśli x=2 to f(2)=2(2)+3=7
Rysowanie wykresów

Funkcje wielomianowe można przedstawić na wykresie. Na przykład, funkcja f(x)=x^2 tworzy kształt litery U (parabola). Funkcja  f(x)=2x+3 to linia prosta.

Zastosowania w życiu codziennym:

Wielomiany są używane w wielu miejscach! Na przykład:

  • W fizyce do opisywania ruchu przedmiotów.
  • W ekonomii do prognozowania, jak będą rosły ceny.
  • W inżynierii do projektowania mostów i budynków.
Zabawa z funkcjami wielomianowymi:

Możesz wypróbować rysowanie własnych funkcji na papierze lub użyć specjalnych programów komputerowych, które pomagają zobaczyć, jak wyglądają różne funkcje.

Pamiętaj, że funkcje wielomianowe to po prostu sposób na opisanie różnych zależności w świecie matematyki. Im więcej będziesz ćwiczyć, tym łatwiejsze staną się te pojęcia!

Po co mi to?

  1. Rozwijanie umiejętności myślenia: Uczą analitycznego i logicznego myślenia, co jest przydatne w każdej pracy i codziennym życiu.
  2. Podstawy do zaawansowanych dziedzin: Są fundamentem w nauce zaawansowanej matematyki, fizyki, inżynierii i informatyki.
  3. Praktyczne zastosowania: ekonomia: analiza trendów; fizyka: opis ruchu ciał; inżynieria: projektowanie systemów; informatyka: grafika komputerowa i algorytmy.
  4. Rozwiązywanie problemów: Modelowanie rzeczywistych sytuacji, jak wzrost populacji czy projektowanie budynków.
  5. Egzaminy i kwalifikacje: Potrzebne do zdania matury i innych ważnych egzaminów.
  6. Technologia: Podstawa nowoczesnych technologii, takich jak smartfony i gry komputerowe.

Nauka funkcji wielomianowych to inwestycja w Twój rozwój intelektualny i przyszłe możliwości.

Nie samą nauką uczeń żyje …

Ile trzeba mieć lat aby skonstruować reaktor jądrowy?
Wystarczy 12! Jeśli tyle skończyłeś to dzięki wiedzy zdobytej m.in na tej stronie będziesz w stanie zbudować reaktor fuzyjny tak jak to uczynił Jackson Oswalt z Memphis. W sztucznym słońcu chłopiec wykorzystał dwa atomy deuteru, które połączyły się i stworzyły atom helu-3 i uwolniły jeden neutron, co z kolei nagrzało wodę. Nagrzana woda może napędzić turbinę elektryczną. (źródło)

Kilka ciekawostek

epodrecznik.pl – Odkrycie i historia liczb niewymiernych

Przydatne materiały

Pozostałe materiały:

Lernado – Funkcje

khanacademy – Wyrażenia, równania oraz funkcje wielomianowe

Medianauka – Funkcje

Spis wszystkich tematów z matematyki


Lista wszystkich naszych źródeł:

Dla nauczycieli

Jeżeli posiadasz materiały, które mogą ułatwić pracę innym nauczycielom (twojego autorstwa lub które możesz legalnie udostępnić) to proszę podziel się nimi w tej ankiecie. W razie pytań lub jeśli wyrażasz chęć współpracy, skontaktuj się z nami na FundacjaCALMedu@grzegorzczekala.pl.

Zostaw swoją ocenę
Poprzedni Następny

Jest tego więcej...


					Autonomiczne ogrody wertykalne Inne

Autonomiczne ogrody wertykalne

Zazieleńmy miasta

A gdyby tak: wszystkie ogrodzenia w miastach, w szczególności wokół szkół, przedszkoli czy placów zabaw zamienić na zielone ściany? wszystkie puste ściany kamienic czy nawet bloków mieszkalnych przeobrazić w zielone murale? wszystkie ekrany akustyczne przy drogach zamienić na zielone dzieła sztuki? wokół parków, przy skwerach, na przystankach i wszelakich zaniedbanych nieużytkach poustawiać podobne konstrukcje? do […]


					4xP Ściąga i Podręcznik PLC Podręczniki

4xP Ściąga i Podręcznik

Podręczny Podręcznik Programowania PLC

Wszystko o programowaniu PLC na jednej kartce Po przeszkoleniu ponad 2000 kursantów z zakresu programowania sterowników PLC uświadomiłem sobie, że wyjątkowo wiele czasy tracą oni na poszukiwaniu informacji w podręczniku, zamiast skoncentrować się na rozwijaniu swoich umiejętności programistycznych. Dlatego zdecydowałem się przygotować i za darmo udostępnić kompendium skompresowanej wiedzy w formie podręcznej dwustronnej ściągi i […]


					Jak mogę pomóc Inne

Jak mogę pomóc

Razem możemy zminić edukację

Edukacja to zbyt istotny temat dla naszej przyszłości (nas samych, naszych dzieci ale i cywilizacji), aby pozwalać wyznaczać kierunki jej rozwoju (nie zawsze w kierunku rozwoju) grupce ekspertów ministerstwa. Nauczanie to z kolei zbyt duże wyzwanie, aby mogła sobie z nim poradzić osamotniona instytucja szkoły (w formie przedszkoli, szkół i uczelni) dlatego musimy im pomóc! […]


					Anna Szajkowska - CALM talks Inne

Anna Szajkowska - CALM talks

psycholożka i psychoterapeutka

Jeżeli nie wiesz czym jest projekt CALM talks to zapraszam na tą stronę – „CALM talks – porozmawiajmy o edukacji”. Tam także znajdziesz pełne pytania. Poniżej zamieszczamy wypowiedź Pani Anny Szajkowskiej. Pełna lista wszystkich wypowiedzi jest dostępna pod tym linkiem – „CALM talks – wszystkie odpowiedzi„. Jaki był Twój ulubiony przedmiot za czasów szkolnych i […]


					Historia maszyny parowej Artykuły

Historia maszyny parowej

i ewolucja zasady działania

Po kilku bardzo ciemnych wiekach w Europie (świat rozwijał się wtedy na Wschodzie tym bliższym i dalszym), zwanych dzisiaj Średniowieczem, gdzie całą swoją uwagę poświęcaliśmy wysławianiu Boga. Budowaniu ku jego chwale świątyń (dla architektury i budownictwa wcale to nie był ciemny okres) oraz wymyślaniu machin wojennych, aby mordować tych, którzy nie chcieli wierzyć w naszego […]


					Przewidzieć przyszłość Inne

Przewidzieć przyszłość

Futurystyka i nowe technologie

Jedno z moich ulubionych haseł które napędza mnie do działania, zmotywowało do otwarcia firmy, założenia fundacji brzmi: „Najlepszym sposobem na przewidywanie przyszłości jest jej tworzenie. Każdego dnia, systematycznie, małymi kroczkami” W tym poście nie skupimy się na nauce, aby faktycznie budować naszą przyszłość, ale zaprezentujemy kilka książek, dzięki którym łatwiej będzie można sobie tą przyszłość […]


					Podtrzymanie, SET i RESET PLC

Podtrzymanie, SET i RESET

Prostymi słowami

Bez wątpienia jedno z najważniejszych zagadnień, które musisz opanować (chyba, że chcesz stać przy maszynie i cały czas trzymać wciśnięty przycisk). Z tej prezentacji:


					Rozwojowe filmy i programy Inne

Rozwojowe filmy i programy

dla młodzieży i rodziców

Dla kogo ta lista ? Dla odpoczywających na kanapie Siedzisz w domu i chcesz odpocząć, ale nie chcesz całkowicie zmarnować swojego czasu? Może warto obejrzeć coś wartościowego i przyjemnego jednocześnie, aby zmotywować się do pracy? Przygotowaliśmy dla Ciebie listę filmów (i seriali bo dziś to ten sam poziom), które zainteresują nie tylko inżyniera, a każdego […]


					Czym jest ChatGPT? Artykuły

Czym jest ChatGPT?

Prostymi słowami o sztucznej inteligencji

Jeśli z jakichś powodów odciąłeś się od mediów i internetu w 2023 roku, albo nie kupujesz gazet, to być może jeszcze nie wiesz, czym jest aplikacja ChatGPT (pisana częściej niepoprawnie osobno „Chat GPT”). W każdym innym przypadku musiałeś przynajmniej przez przypadek natknąć się na wzmianki o tej najszybciej rozwijającej się aplikacji w historii (1 milion […]


					Łukasz Grabowski - CALM talks Inne

Łukasz Grabowski - CALM talks

przedsiębiorca i wykładowca

Jeżeli nie wiesz czym jest projekt CALM talks to zapraszam na tą stronę – „CALM talks – porozmawiajmy o edukacji”. Tam także znajdziesz pełne pytania, na które tu znajdziesz odpowiedzi. Poniżej zamieszczamy podsumowanie wszystkich – naszym zdaniem – najciekawszych wypowiedzi udzielonych w tym projekcie. Pełna lista wszystkich wypowiedzi jest dostępna pod tym linkiem – „CALM […]


					Element NOT - negacja PLC

Element NOT - negacja

Prostymi słowami

Jeżeli na wejście zestyku NOT dociera stan wysoki to na wyjściu będzie niski. Jeżeli na wejściu zestyku NOT jest stan niski (brak wysterowania) to na jego wyjściu pojawi się wysoki stan logiczny, który można użyć choćby do załączenia lampki. Jeżeli wiesz jak działa zestyk typu NC (normalnie zamknięty) to stosunkowo łatwo wyobrazić sobie, że tak […]


					Automatyzacja w Polsce Artykuły

Automatyzacja w Polsce

na tle światowych osiągnięć

Postanowiłem zamieścić artykuł z magazynu „Utrzymanie Ruchu” – wyd. 01/2016 str. 38,39,  którego jestem współautorem,  ponieważ poruszamy w nim bardzo ciekawe zagadnienie „dlaczego w Polsce nie ma robotów?”. Jak się okazuje w treści, nie chodzi o …. Sami się przekonacie. Staraliśmy się używać języka zrozumiałego dla każdego czytelnika (jak zresztą w wszystkich innym artykułach na […]

Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Zamknij