Potęgi

potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym i całkowitym ujemnym

Na tej stronie znajdziesz:

Spis treści

Słowem wstępu

PO co mi to?

Przydatne materiały

Dla nauczyciela

Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno, aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej, aby zrobić coś spoza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału).

czytaj więcej: O projekcie „Szkoła 4.0”

Słowem wstępu

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga o wykładniku naturalnym to wyrażenie postaci

     \[ a^n \]

gdzie:

  • a to podstawa potęgi (liczba, którą potęgujemy),
  • n to wykładnik potęgi (naturalna liczba dodatnia).

Dla  n=1 mamy  a^1=a Dla  n>1 oznacza to, że mnożymy liczbę a przez samą siebie n razy.

Przykłady:

     \[ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \] \[ 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \]

Potęga o wykładniku całkowitym

Potęga o wykładniku całkowitym to wyrażenie postaci  a^n gdzie:

  • a to podstawa potęgi,
  • n to całkowita liczba dodatnia, ujemna lub zero.

Zasady:

     \[ a^0 = 1 \quad \text{dla każdej liczby a (pry założeniu, że) } a \neq 0 \]

Dla dodatnich wykładników n, a^n działa tak samo, jak przy wykładniku naturalnym.

Przykłady:

     \[ 3^0 = 1 \] \[ 4^2 = 16 \]

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym to wyrażenie postaci  a^{-n} gdzie:

– a to podstawa potęgi (przy założeniu, że  a \neq 0 ),

– n to naturalna liczba dodatnia.

Zasady:

     \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

Przykłady:

     \[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \] \[ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \]

Przykłady i zastosowania

     \[ \text{Dla } a = 2: \] \[ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \] \[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \] \[ \text{Dla } a = 10: \] \[ 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \] \[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 \]

Potęgi mają szerokie zastosowanie w matematyce, fizyce i innych dziedzinach nauki. Pozwalają na wygodne zapisywanie dużych i małych liczb oraz opisują różnorodne zjawiska, od wzrostu populacji po rozpady promieniotwórcze.

Zrozumienie potęg jest kluczowe dla dalszej nauki matematyki, w tym pracy z wielomianami, funkcjami wykładniczymi i logarytmami.

W uproszczeniu

Potęga to sposób na szybkie zapisanie mnożenia tej samej liczby wiele razy. Wyrażenie  a^n oznacza, że liczbę a mnożymy przez siebie n razy. Zaczniemy od prostych przykładów i wyjaśnień.

Potęga o wykładniku naturalnym

Potęga o wykładniku naturalnym to wyrażenie, gdzie:

  • a to liczba, którą mnożymy (nazywana podstawą),
  • n to liczba mówiąca, ile razy mamy pomnożyć aaa przez siebie (nazywana wykładnikiem).

Na przykład:

     \[ 2^3 \text{ oznacza } 2 \cdot 2 \cdot 2. \text{ Więc: } \] \[ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \] \[ 5^2 \text{ oznacza } 5 \cdot 5. \text{ Więc: } \] \[ 5^2 = 5 \cdot 5 = 25 \]

Potęga o wykładniku zero

Gdy wykładnik n wynosi 0, czyli mamy a^0 , to wynik zawsze wynosi 1 (o ile
a nie jest zerem).

Na przykład:

     \[ 3^0 = 1 \] \[ 4^0 = 1 \]

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym

Potęga o wykładniku całkowitym ujemnym oznacza, że zamiast mnożyć, będziemy dzielić. Wyrażenie  a^{-n} oznacza:

     \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]

Na przykład:

     \[ 2^{-3} \text{ oznacza } \frac{1}{2^3}: \] \[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \] \[ 5^{-2} \text{ oznacza } \frac{1}{5^2}: \] \[ 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25} \]

Przykłady i zastosowania

     Na przykład: \text{Dla liczby } a = 2: \] \[ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \] \[ 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \] \text{Dla liczby } a = 10: \] \[ 10^2 = 10 \cdot 10 = 100 \] \[ 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0.01 \]

Podsumowanie

Potęga to wygodny sposób na zapisanie mnożenia tej samej liczby wiele razy. Dzięki niej możemy szybko zapisać i obliczyć duże wartości. Potęgi mają wiele zastosowań w matematyce i pomagają nam w różnych obliczeniach.

Po co mi to?

To bardzo dobre pytanie! Potęgi mają wiele praktycznych zastosowań, które mogą przydać się w codziennym życiu i w różnych dziedzinach nauki. Oto kilka powodów, dlaczego warto znać potęgi:

  1. Szybkie Obliczenia
    • Potęgi pozwalają na szybkie obliczanie dużych liczb.
  2. Naukowe Zastosowania
    • W wielu dziedzinach nauki, takich jak fizyka, chemia, biologia, czy astronomia, używa się potęg do opisania różnych zjawisk.
  3. Informatyka i Technologia
    • W informatyce potęgi są używane do pracy z dużymi liczbami i do optymalizacji kodu. Na przykład, ilość danych może być wyrażana w gigabajtach
  4. Codzienne Życie
    • Potęgi pojawiają się również w życiu codziennym. Na przykład, jeśli masz przyrząd, który zużywa energię w watach na sekundę, to zużycie w kilowatach na godzinę jest wyrażone w potęgach.
  5. Rozwój Umysłowy:
    • Używanie potęg i zrozumienie matematyki pomaga rozwijać logiczne myślenie, umiejętności problem-solving i precyzyjne podejście do zadań. Te umiejętności są bardzo cenione w wielu zawodach, nie tylko związanych z nauką i technologią.

Nie samą nauką uczeń żyje …

Ile trzeba mieć lat aby skonstruować reaktor jądrowy?
Wystarczy 12! Jeśli tyle skończyłeś to dzięki wiedzy zdobytej m.in na tej stronie będziesz w stanie zbudować reaktor fuzyjny tak jak to uczynił Jackson Oswalt z Memphis. W sztucznym słońcu chłopiec wykorzystał dwa atomy deuteru, które połączyły się i stworzyły atom helu-3 i uwolniły jeden neutron, co z kolei nagrzało wodę. Nagrzana woda może napędzić turbinę elektryczną. (źródło)

Kilka ciekawostek

epodrecznik.pl – Odkrycie i historia liczb niewymiernych

Przydatne materiały

Pozostałe materiały:

Pitacja – potęga o wykładniku naturalnym

Khanacademy – potęga o wykładniku ujemnym

ZPE – skracanie wyrażeń wymiernych

Matemaks – wyrażenia wymierne

Matematyczne Zoo – potęgi dla ósmoklasisty

Spis wszystkich tematów z matematyki


Lista wszystkich naszych źródeł:

Dla nauczycieli

Jeżeli posiadasz materiały, które mogą ułatwić pracę innym nauczycielom (twojego autorstwa lub które możesz legalnie udostępnić) to proszę podziel się nimi w tej ankiecie. W razie pytań lub jeśli wyrażasz chęć współpracy, skontaktuj się z nami na FundacjaCALMedu@grzegorzczekala.pl.

Zostaw swoją ocenę
Poprzedni Następny

Jest tego więcej...


					CV studenta politechniki Artykuły

CV studenta politechniki

bez doświadczenia zawodowego

Poniższy artykuł powstał w oparciu o moje własne doświadczenia jako kandydata do pracy, pracodawcy i rekrutera. W celu podniesienia jego wartości merytorycznej skonsultowałem temat także z przedstawicielami firmy Stevia Automation, Biurem Karier Studenckich Politechniki Śląskiej oraz niezliczonymi znajomymi pracującymi w działach HR różnych firm (w tym międzynarodowych korporacji). Z tego wpisu dowiesz się, jak przygotować […]


					CALM talks Nasze projekty

CALM talks

Porozmawiajmy o edukacji

Jeżeli trafiłeś na tą stronę to pewnie już wiesz o co chodzi w tym projekcie i możesz od razu wypełnić ankietę klikając w link zamieszczony w poniższym box-ie. Jeśli jednak nie do końca wiesz o co chodzi w projekcie CALM talks to zapraszam do lektury tego artykułu i na końcu wypełniania ankiety. Jeśli od razu […]


					Historia robotyki cz. 2 Artykuły

Historia robotyki cz. 2

pierwszy manipulator

zobacz także: Historia robotyki cz. 1 W drugiej części przedstawię udokumentowane fakty historyczne początków rozwoju robotyzacji i przejdę do dokonań z ostatniej dekady. Następnie w kolejnych rozdziałach skupię się na ostatnich, nowatorskich dokonaniach branży przemysłowej w dziedzinie robotów współpracujących (CoBots, Collaborative Robots). Pierwszy robot przemysłowy Początek historii robotów zaprojektowanych w celu wykorzystania w przemyśle datuje […]


					Watch Table w TIA Portal PLC

Watch Table w TIA Portal

Tablica podglądania zmiennych

Po co mi to? Jak sama nazwa wskazuje, watch table służy do modyfikowania zmiennych (oraz ich podglądania). 😉 Tym samym przyda Ci się do sprawdzania stanów zmiennych, szukania błędów w programie, wysyłania wartości temperatur, prędkości obrotowych czy liczby sztuk do wyprodukowania do maszyn. Wszędzie Ci się przyda! Wstawianie nowej Watch table W projekcie domyślnie nie […]


					Element NOT - negacja PLC

Element NOT - negacja

Prostymi słowami

Jeżeli na wejście zestyku NOT dociera stan wysoki to na wyjściu będzie niski. Jeżeli na wejściu zestyku NOT jest stan niski (brak wysterowania) to na jego wyjściu pojawi się wysoki stan logiczny, który można użyć choćby do załączenia lampki. Jeżeli wiesz jak działa zestyk typu NC (normalnie zamknięty) to stosunkowo łatwo wyobrazić sobie, że tak […]


					Industry 4.0 Inne

Industry 4.0

Jak zostać inżynierem 4.0

Przemysł 4.0 (z j. angielskiego industry 4.0) to bardzo chodliwy aktualny temat, jednak znacząca większość osób nie ma pojęcia o co w tym wszystkich chodzi.Dlatego postanowiłem przygotować prezentację dla wszystkich osób zainteresowanych tym zagadnieniem, począwszy od uczniów techników, a na emerytach skończywszy. Dla uczniów dodatkowo zamieszczam informację w jaki sposób pokierować swoją edukacją, aby sprostać […]


					Wartość bezwzględna Szkoła 4.0

Wartość bezwzględna

Jak daleko od zera?

Na tej stronie znajdziesz: Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno, aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej, aby zrobić coś spoza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału). czytaj więcej: O […]


					LAOS - pomagamy Inne

LAOS - pomagamy

Po pierwsze EDUKACJA

W tym poście dowiesz się o co chodzi z akcją „Laos – po pierwsze edukacja”. Czego brakuje nam do pełni szczęścia i co oznacza odniesienie sukcesu w życiu. Dlaczego Laos i gdzie to właściwie leży? Kto to jest Keo i jakim cudem poznała Karolinę (jaką Karolinę?). Powiem Ci też dlaczego zwyczajne ołówki, zeszyty i kredki […]


					Podziel się opinią Inne

Podziel się opinią

Co można zrobić lepiej ...

Jeżeli dotarłeś na tą stronę to znaczy, że albo uczestniczyłeś w jednym z naszych projektów albo właśnie skończyłeś czytać jedną z książek. Nadszedł tym samym czas, aby napisać co o tym sądzisz. Ponieważ pozytywne komentarze najbardziej motywują do dalszego tworzenia podobnych projektów, a negatywne umożliwiają dopracowywanie i wynoszenie ich na lepszy poziom. Teraz Twoja kolej! […]


					Książki dla nauczycieli Inne

Książki dla nauczycieli

i wszystkich zainteresowanych edukacją

„Kreatywna szkoła” i „Oblicza umysłu”Ken Robinson Dwie książki z kategorii „Co z szkołą jest nie tak i dlaczego niektórym udało się to zrobić lepiej”. Autor dzieli się swoimi doświadczeniami i przemyśleniami, a także przytacza wiele konkretnych szkół i organizacji, którym się udaje skutecznie wprowadzać innowacje. „Oblicza umysłu” to interesująca książka która opisuje różne aspekty ludzkiego […]


					CALM tests Inne

CALM tests

Autorski generator testów

Automatyka i Ekologia Oprogramowanie CALM tests w wersji testowej (pierwszy mój samodzielny projekt w języku js). Oprawa graficzna Daniel Polak. Znajdziesz tutaj testy: Dla uczestników moich szkoleń aby podsumować i powtórzyć wiedze zdobytą każdego dnia kursu, Na temat prawidłowej segregacji śmieci – ogromna baza pytań – SPRAWDŹ ILE NAPRAWDĘ WIESZ Z TEGO TEMATY Na temat […]


					Bloczek MOVE PLC

Bloczek MOVE

Ruszyć, przesłać, przekopiować wartość

Jeden z najczęściej używanych bloczków, ponieważ jest to chyba najbardziej wszechstronny z bloczków. Z folderu MOVE na poziomie podstawowym (a takiego dotyczy ten podręcznik) powinieneś zainteresować się tylko jednym bloczkiem – „MOVE”. Bloczek MOVE jak sama nazwa wskazuje…. Co słownik bab.la ma na ten tematmove {czas.} PL przenieść ruszyć poruszyć ruszać przesunąć skłonić przesiąść się […]

Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Zamknij