Wielomiany

jednej zmiennej rzeczywistej

Na tej stronie znajdziesz:

Spis treści

Co to te wielomiany?

Po co mi to?

Materiały edukacyjne

Dla nauczyciela

Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej aby zrobić coś z poza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału).

czytaj więcej: O projekcie „Szkoła 4.0”

Słowem wstępu

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej to wyrażenia matematyczne, które można opisać jako sumę kilku lub wielu składników, z których każdy składa się z liczby (nazywanej współczynnikiem) pomnożonej przez zmienną (np. x) podniesioną do pewnej potęgi. Kluczowe cechy wielomianów jednej zmiennej rzeczywistej to:

  1. Zmienna: Wielomiany jednej zmiennej mają tylko jedną zmienną (często oznaczaną jako x), którą możemy rozumieć jako rodzaj „pudełka”, w które możemy wstawić dowolną liczbę rzeczywistą.
  2. Współczynniki: Są to liczby stojące przed zmiennymi. Określają one, jak bardzo dana część wielomianu wpływa na całe wyrażenie. Współczynniki mogą być dowolnymi liczbami rzeczywistymi.
  3. Potęgi: Zmienna w wielomianie może być podniesiona do różnych potęg (które są liczbami całkowitymi, zaczynającymi się od 0). Stopień wielomianu to najwyższa potęga zmiennej w wyrażeniu.

Przykładem wielomianu jednej zmiennej rzeczywistej jest

3x^2 - 4x + 5

gdzie:

  • 3x2 oznacza, że x jest podniesione do kwadratu i pomnożone przez 3,
  • −4x oznacza, że x jest pomnożone przez -4,
  • +5 to stała, czyli liczba, która również jest częścią wielomianu (można to traktować jako x0, bo każda liczba (również x) podniesiona do potęgi 0 równa się 1).

Analizując wielomiany, uczymy się nie tylko, jak je dodawać, odejmować, mnożyć czy dzielić, ale także jak znajdować ich pierwiastki (wartości zmiennej, dla których wielomian przyjmuje wartość 0) i jak interpretować je na wykresach. Wielomiany są podstawowym narzędziem w wielu dziedzinach matematyki oraz mają zastosowania w fizyce, inżynierii i ekonomii.

W uproszczeniu

Wyobraź sobie, że wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej to jak specjalne rodzaje liczenia z literkami i liczbami, które tworzą długie ciągi, trochę jak pociągi z wagonikami.

  1. Literka (zmienna): Weźmy literkę x – to nasza zmienna, która jest jak pudełko, do którego możemy włożyć różne liczby, aby zobaczyć, co się stanie.
  2. Liczby przed literką (współczynniki): Przed literką x stawiamy liczby, które mówią nam, ile razy mamy wziąć to „pudełko”. Jeśli przed x jest 3, to oznacza, że mamy 3 pudełka x.
  3. Potęgi: Czasami literka x może być podniesiona do góry, jak na przykład x do kwadratu (x2). To znaczy, że nasze pudełko x jest użyte dwa razy (x pomnożone przez x).

Przykład: Weźmy wielomian

2x^2 + 4x + 1

To jak powiedzenie: „Mam 2 pudełka x, i każde z nich jest pomnożone samo przez siebie, potem dodaję 4 pudełka x i na końcu dodaję jeszcze 1″.

To trochę jak gotowanie z przepisem, gdzie dodajesz różne składniki (liczby i literki) w określony sposób, aby zrobić całe danie (wielomian). I tak jak w gotowaniu, możesz dodawać, odejmować i łączyć te składniki w różny sposób, aby zrobić nowe, ciekawe „dania” matematyczne!

Po co mi to?

Wielomiany są jednymi z podstawowych i wszechstronnych narzędzi w matematyce, które znajdują zastosowanie w wielu różnych dziedzinach, zarówno w teoretycznych aspektach matematyki, jak i w praktycznych zastosowaniach w nauce i technice. Oto kilka powodów, dla których warto zrozumieć wielomiany:

  1. Podstawa zaawansowanej matematyki: Wielomiany są kluczowymi elementami w wielu bardziej zaawansowanych dziedzinach matematyki, takich jak algebra, analiza matematyczna, statystyka, i wiele innych. Rozumienie wielomianów jest niezbędne do dalszego zgłębiania tych dziedzin.
  2. Rozwiązywanie równań: Wielomiany pomagają w rozwiązywaniu wielu typów równań, co jest fundamentalne nie tylko w matematyce, ale również w fizyce, inżynierii, ekonomii i wielu innych dziedzinach.
  3. Modelowanie sytuacji rzeczywistych: Wielomiany pozwalają modelować różnorodne sytuacje rzeczywiste, od obliczania trajektorii ruchu w fizyce po przewidywanie trendów w ekonomii. Na przykład, za pomocą wielomianów można opisywać wzrost populacji, rozkład ciepła czy zmiany w cenach akcji.
  4. Analiza i projektowanie: W inżynierii i informatyce wielomiany są używane do analizy i projektowania systemów, takich jak obwody elektryczne, algorytmy czy architektura oprogramowania.
  5. Rozwój umiejętności analitycznych: Praca z wielomianami rozwija umiejętności logicznego myślenia, analizy problemów i znajdowania rozwiązań, co jest przydatne w każdej dziedzinie życia, nie tylko w matematyce.

Zrozumienie wielomianów otwiera drzwi do głębszego zrozumienia świata i umożliwia stosowanie matematyki do rozwiązywania konkretnych problemów, co jest nieocenioną umiejętnością w wielu zawodach i sytuacjach życiowych.

Nie samą nauką uczeń żyje …

Ile trzeba mieć lat aby skonstruować reaktor jądrowy?
Wystarczy 12! Jeśli tyle skończyłeś to dzięki wiedzy zdobytej m.in na tej stronie będziesz w stanie zbudować reaktor fuzyjny tak jak to uczynił Jackson Oswalt z Memphis. W sztucznym słońcu chłopiec wykorzystał dwa atomy deuteru, które połączyły się i stworzyły atom helu-3 i uwolniły jeden neutron, co z kolei nagrzało wodę. Nagrzana woda może napędzić turbinę elektryczną. (źródło)

Kilka ciekawostek

epodrecznik.pl – Odkrycie i historia liczb niewymiernych

Przydatne materiały

Matemaks.pl – Wielomiany wprowadzenie

Matemaks.pl – Obliczanie wartości wielomianu

Zaliczone na 5! – Wielomiany jednej zmiennej (część I)

A po co MI ta MATMA? – Czym jest WIELOMIAN – Czyli FUNDAMENTY WIELOMIANÓW: Stopień wielomianu, współczynniki WIELOMIANU

Matematyka Na Plus – Uporządkuj wielomian. Podaj jego stopień i sumę współczynników.

Pizza Math – Liceum. Klasa II. Wielomiany. Rozkładanie wielomianów na czynniki

matspot – Równania wielomianowe – od podstaw.

A tutaj kilka ćwiczeń, aby sprawdzić swoją wiedzę

ZPE.pl – Wielomiany – Przykłady i ćwiczenia

Spis wszystkich tematów z matematyki


Lista wszystkich naszych źródeł:

Dla nauczycieli

Jeżeli posiadasz materiały, które mogą ułatwić pracę innym nauczycielom (twojego autorstwa lub które możesz legalnie udostępnić) to proszę podziel się nimi w tej ankiecie. W razie pytań lub jeśli wyrażasz chęć współpracy, skontaktuj się z nami na FundacjaCALMedu@grzegorzczekala.pl.

Zostaw swoją ocenę
Poprzedni Następny

Jest tego więcej...


					Automatyzacja w Polsce Artykuły

Automatyzacja w Polsce

na tle światowych osiągnięć

Postanowiłem zamieścić artykuł z magazynu „Utrzymanie Ruchu” – wyd. 01/2016 str. 38,39,  którego jestem współautorem,  ponieważ poruszamy w nim bardzo ciekawe zagadnienie „dlaczego w Polsce nie ma robotów?”. Jak się okazuje w treści, nie chodzi o …. Sami się przekonacie. Staraliśmy się używać języka zrozumiałego dla każdego czytelnika (jak zresztą w wszystkich innym artykułach na […]


					Historia Keo Inne

Historia Keo

Laos - po pierwsze edukacja!

Jeżeli poznałeś już szczegóły akcji „Laos – po pierwsze edukacja!” to pora poznać teraz historię osoby od, której to wszystko się zaczęło. Przedstawiam Ci poniżej, skróconą wersję autobiografii naszej koleżanki z Laosu. Życie Keo wielokrotnie rzucało kłody pod nogi (i powodzie z Mekongu) na jej drodze do edukacji. Warto przeczytać, tą krótką historię aby uświadomić […]


					Historia edukacji Artykuły

Historia edukacji

Krótka historia współczesnej edukacji

Żyjemy w świecie w którym pracodawcy oczekują się od nas kreatywności, innowacyjności (umiejętność wdrażania nowych rozwiązań), umiejętności szybkiego uczenia się abyśmy mogli wdrażać technologie Industry 4.0 (przemysłu czwartej generacji). Natomiast szkoły od swoich uczniów oczekują odpowiedzi wpisujących się w klucz, rozwiązywania zadań jedyną słuszną metodą, zapamiętywania przestarzałych i całkowicie niezrozumiałych definicji…. Otaczająca nas rzeczywistość stawia […]


					EDUmiejsca Inne

EDUmiejsca

centra edukacyjne, parki, muzea

Albert Einstein kiedyś powiedział, że początkowe lata nauki fizyki powinny opierać się tylko i wyłącznie na ciekawych eksperymentach. Na szczęście w XXI w. nie tylko nauka fizyki może przyjmować formę eksperymentalną i doświadczalną, a tak naprawdę już każdy przedmiot co udowadnia poniższa mapa. Jeżeli znasz inne miejsca, które powinny się znaleźć na powyższej mapie daj […]


					Uczelnie wyższe 4.0 Artykuły

Uczelnie wyższe 4.0

Nowa rola politechnik w XXI w.

W tak szybko zmieniającym się świecie, gdy już wszyscy wiemy, że będziemy zmuszeni do wielokrotnego przebranżowienia się w naszym życiu, spędzanie pięciu lat na jednej uczelni studiując jeden kierunek zaczyna tracić sens. Jak zatem uczelnie powinny się do tego przygotować i jaką rolę powinny zacząć odgrywać w świecie szybkich zmian? W tym rozdziale postaram się […]


					Platformy do nauki matematyki Szkoła 4.0

Platformy do nauki matematyki

Lista matematycznych stron

Najbardziej wartościowe darmowe strony internetowe o matematyce kierowane do uczniów i studentów. Kolejność stron na poniższej liście jest losowa, dlatego nie sugeruj się nią tylko odwiedź każdą z stron i zobacz, która najbardziej Ci odpowiada. Jeżeli jeszcze nie wiesz dlaczego „Matematyka 4.0” i o co chodzi z „Szkołą 4.0” odwiedź TĄ stronę na której wszystko […]


					SCADA stacyjka dynamiczna PLC

SCADA stacyjka dynamiczna

WinCC TIA Portal Professional i WinCC 7.4

Materiał z serii #EduForPro czyli materiał edukacyjny dedykowany dla profesjonalistów, którzy chcą rozwijać swoje kompetencje w tym wpisie z zakresu WinCC Professional V 15 i WinCC 7.4 Jeżeli nie jesteś profesjonalistom i chciałbyś się dowiedzieć czym tak właściwie SCADA jest to polecam ten prosty film. Z tej prezentacji dowiesz się jak w systemie SCADA Simensa: […]


					#Ppp Szkoła 4.0

#Ppp

Wprowadzenie - prawo, podatki i przedsiębiorczość

Podatki Gdy na swoich kursach pytałem ludzi na co ich zdaniem w szkołach powinno się poświęcać więcej czasu, większość z nich mówiła „podatki”, bo towarzyszą nam całe życie, a większość społeczeństwa nawet nie wie ile ich one kosztują. Na międzynarodowych forach także, to zagadnienie przewijało się najczęściej gdy ktoś zadawał podobne pytanie. Prawo Osoba, która […]


					#Chemia Szkoła 4.0

#Chemia

Wprowadzenie - Przedmiot chemia

Jeszcze uzupełniamy treści – wróć tutaj jutro.


					Problemy z programowaniem PLC

Problemy z programowaniem

Najczęstsze błędy podczas programowania w STEP7 - j. LAD

Prezentacja kierowana jest dla osób, które uczestniczyły w moich szkoleniach i chcą sobie zdobytą wiedzę odświeżyć. Nie jest to prezentacja dla osób, które nie posiadają żadnej wiedzy z zakresu programowania sterowników. Plan prezentacji 1.Założenia dla omawianego układu.2.Odwzorowanie fizycznych zestyków w języku LAD.3.Układ podtrzymania.4.Nieprawidłowe użycie cewki w networku.5.Dublowanie cewek w bloku.6.Negacja sygnału.7.Różnica pomiędzy napięciem, a stanem […]


					Autonomiczne ogrody wertykalne Inne

Autonomiczne ogrody wertykalne

Zazieleńmy miasta

A gdyby tak: wszystkie ogrodzenia w miastach, w szczególności wokół szkół, przedszkoli czy placów zabaw zamienić na zielone ściany? wszystkie puste ściany kamienic czy nawet bloków mieszkalnych przeobrazić w zielone murale? wszystkie ekrany akustyczne przy drogach zamienić na zielone dzieła sztuki? wokół parków, przy skwerach, na przystankach i wszelakich zaniedbanych nieużytkach poustawiać podobne konstrukcje? do […]


					Symulator stanowiska S7-1500 PLC

Symulator stanowiska S7-1500

Dla nuaki programwoania S7-1500

Nie masz sterownika PLC ale chcesz nauczyć się programować? Bardzo dobrze się składa, ponieważ dla moich kursantów (i czytelników tej strony) przygotowałem darmowy do pobrania symulator stanowiska szkoleniowego i cały kurs podstawowy przygotowujący do egzaminu zawodowego z programowania sterowników PLC. Plansz z podnośnikiem i dwoma taśmami Po pierwsze: pobierz oprogramowanie TIA Portal (Jak pobrać i […]

Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Zamknij