Wielomiany

Rozkład wielomianów na czynniki pierwsze

Na tej stronie znajdziesz:

Spis treści

Słowem wstępu

PO co mi to?

Przydatne materiały

Dla nauczyciela

Dlaczego na jednej stronie zamieszczamy zakres tematów dla różnych klas i szkół, a nawet dla studentów? Ponieważ nigdy nie jest za późno, aby powrócić do podstaw (bez nich nie pójdziesz dalej) i nigdy nie jest za wcześniej, aby zrobić coś spoza swojego zakresu (nie chcemy hamować Twojego potencjału).

czytaj więcej: O projekcie „Szkoła 4.0”

Słowem wstępu

Wielomian to wyrażenie matematyczne zbudowane ze zmiennych (najczęściej oznaczanych jako x), współczynników (które są liczbami) oraz operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i potęgowania zmiennej do nieujemnej całkowitej potęgi. Przykładem wielomianu jest:

x^ - 5x + 6

Czym jest rozkład na czynniki?

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przekształceniu go w iloczyn prostszych wielomianów, które po pomnożeniu dają oryginalny wielomian. Proces ten jest analogiczny do rozkładu liczby na iloczyn liczb pierwszych.

Dlaczego rozkładamy wielomiany na czynniki?

Rozkład na czynniki jest bardzo użyteczny, ponieważ upraszcza wiele problemów matematycznych, w tym rozwiązywanie równań wielomianowych, wyznaczanie miejsc zerowych wielomianu (czyli wartości x, dla których wielomian jest równy zero) oraz upraszcza operacje takie jak dzielenie wielomianów.

Metody rozkładu wielomianów na czynniki:

Wyłączanie wspólnego czynnika: Najprostszą metodą jest wyłączenie wspólnego czynnika z wszystkich wyrazów wielomianu. Na przykład:

6x^3 - 9x^2 + 15x = 3x(2x^2 - 3x + 5)

Grupowanie: Metoda grupowania polega na podzieleniu wielomianu na grupy wyrazów, tak aby z każdej grupy można było wyłączyć wspólny czynnik. Na przykład:

x^3 + 2x^2 + x + 2 = (x^3 + x) + (2x^2 + 2) = x(x^2 + 1) + 2(x^2 + 1) = (x+2)(x^2 + 1)

Schemat Hornera: Schemat Hornera jest przydatny, szczególnie w przypadku znajdowania pierwiastków wielomianu. Można go również wykorzystać do uproszczenia wielomianu.

Korzystanie ze wzorów skróconego mnożenia: Często wielomiany można rozłożyć, wykorzystując wzory takie jak różnica kwadratów, kwadrat sumy czy kwadrat różnicy.

Rozkład metodą grupowania: Czasami wielomiany można skutecznie rozłożyć, dokonując odpowiedniego grupowania wyrazów, tak aby można było zastosować powyższe wzory skróconego mnożenia.

Metoda pierwiastków rzeczywistych: Jeśli możemy znaleźć pierwiastki wielomianu (wartości x, dla których wielomian przyjmuje wartość zero), wielomian można rozłożyć na iloczyn czynników liniowych. Na przykład, jeśli wiemy, że

x=1 i  x=-3

są pierwiastkami

x^2-2x-3

to wielomian ten można zapisać jako

(x-1)(x+3)

W uproszczeniu

Wielomian to wyrażenie matematyczne, które wygląda trochę jak ciąg liczb i liter połączonych znakami dodawania, odejmowania i mnożenia. Na przykład

x^2+3x+2

jest wielomianem. Wielomiany są ważne w matematyce, ponieważ pomagają nam rozumieć różne problemy, od fizyki po ekonomię.

Co to jest rozkład na czynniki?
Rozkładanie wielomianu na czynniki to znalezienie prostszych wyrażeń, które pomnożone razem dają początkowy wielomian. To trochę jak rozkładanie liczby na mniejsze liczby, które razem dają tę oryginalną liczbę. Na przykład, 6 można rozłożyć na 2×3.

Dlaczego rozkładamy wielomiany na czynniki?
Rozkładanie wielomianów na czynniki pomaga nam w rozwiązywaniu równań, ponieważ łatwiej jest zobaczyć rozwiązania lub zrozumieć wykres funkcji, gdy znamy jej czynniki.

Jak rozkładać wielomiany na czynniki?

Wyłącz wspólny czynnik:

Zaczynamy od wyłączenia czegoś, co nazywamy wspólnym czynnikiem. To znaczy, szukamy liczby lub litery, która pojawia się we wszystkich częściach wielomianu. Na przykład, w wyrażeniu

2x^2+4x możemy wyłączyć 2x, co daje nam 2x(x+2)

Szukaj wzorów lub par: Następnie, możemy próbować zgrupować wyrazy w pary, które łatwo rozłożyć na czynniki. Na przykład

x^2+3x+2

można zapisać jako

x^2+2x+x+2

i zgrupować jako

(x^2+2x)+(x+2)

Po wyłączeniu wspólnych czynników z grup, otrzymamy:

(x+2)(x+1)

Używaj wzorów skróconego mnożenia: Czasem wielomiany można łatwo rozłożyć, jeśli rozpoznamy w nich pewne specjalne wzory, jak na przykład różnica kwadratów:

a^2−b^2=(a−b)(a+b)

Spróbuj zgadnąć i sprawdzić: W przypadku prostszych wielomianów, takich jak trójmiany kwadratowe, można czasem zgadnąć ich czynniki i sprawdzić, czy zgadliśmy poprawnie.

Po co mi to?

Wielomiany są jednymi z podstawowych i wszechstronnych narzędzi w matematyce, które znajdują zastosowanie w wielu różnych dziedzinach, zarówno w teoretycznych aspektach matematyki, jak i w praktycznych zastosowaniach w nauce i technice. Oto kilka powodów, dla których warto zrozumieć wielomiany i ich rozkład na czynniki:

  1. Uproszczenie problemów matematycznych: Rozkładanie wielomianów na czynniki pozwala na uproszczenie skomplikowanych wyrażeń, co czyni je łatwiejszymi do zrozumienia i manipulowania. Na przykład, dzięki rozkładowi, można łatwiej dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić wielomiany.
  2. Rozwiązywanie równań: Wielomiany często pojawiają się w równaniach, a znajomość ich rozkładu na czynniki jest kluczowa do rozwiązywania tych równań. Jeśli wielomian można rozłożyć na czynniki, to rozwiązanie równania staje się znacznie prostsze, ponieważ można wówczas wykorzystać zasadę, że iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero.
  3. Znajdowanie pierwiastków wielomianu: Rozkład na czynniki pozwala na łatwe znalezienie miejsc zerowych wielomianu, czyli wartości zmiennej, dla której wielomian przyjmuje wartość zero. Miejsca te są często kluczowe w różnych zastosowaniach praktycznych, takich jak analiza grafów funkcji.
  4. Analiza grafów funkcji: Rozumienie, jak wygląda wykres funkcji wielomianowej, jest ułatwione, gdy znamy jej czynniki. Dzięki temu możemy określić, gdzie funkcja przecina oś x (miejsca zerowe) oraz jakie ma kształty między tymi punktami.
  5. Zastosowania w innych dziedzinach nauki: Rozkładanie wielomianów na czynniki jest również używane w inżynierii, ekonomii, fizyce i wielu innych dziedzinach nauki, gdzie równania wielomianowe modelują zjawiska takie jak ruch, wzrost populacji, reakcje chemiczne czy zyski finansowe.

Korzyści z rozkładania wielomianów na czynniki są więc zarówno teoretyczne, jak i praktyczne, a umiejętność ta stanowi ważny element w edukacji matematycznej na poziomie średnim i wyższym.

Nie samą nauką uczeń żyje …

Ile trzeba mieć lat aby skonstruować reaktor jądrowy?
Wystarczy 12! Jeśli tyle skończyłeś to dzięki wiedzy zdobytej m.in na tej stronie będziesz w stanie zbudować reaktor fuzyjny tak jak to uczynił Jackson Oswalt z Memphis. W sztucznym słońcu chłopiec wykorzystał dwa atomy deuteru, które połączyły się i stworzyły atom helu-3 i uwolniły jeden neutron, co z kolei nagrzało wodę. Nagrzana woda może napędzić turbinę elektryczną. (źródło)

Kilka ciekawostek

epodrecznik.pl – Odkrycie i historia liczb niewymiernych

Przydatne materiały

Pozostałe linki do odwiedzenia:

Rozkład na czynniki przez grupowanie – khanacadem

Rozkład wielomianu na czynniki i twierdzenie o reszcie z dzielenia – khanacademy

Rozkład na czynniki przez wyciąganie przed nawias, powtórzenie – khanacademy

Rozkład wielomianów na czynniki – matemaks

Rozkład wielomianu na czynniki pierwsze różnymi metodami – Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Rozkład wielomianu na czynniki przez grupowanie – Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Twierdzenie o rozkładzie wielomianu, twierdzenie o reszcie – ZPE

Rozkład wielomianu na czynniki przez szukanie pierwiastków wymiernych – ZPE

Rozkład wielomianu na czynniki z użyciem wzorów skróconego mnożenia – ZPE

Rozkład wielomianu na czynniki – Media Nauka

Spis wszystkich tematów z matematyki


Lista wszystkich naszych źródeł:

Dla nauczycieli

Jeżeli posiadasz materiały, które mogą ułatwić pracę innym nauczycielom (twojego autorstwa lub które możesz legalnie udostępnić) to proszę podziel się nimi w tej ankiecie. W razie pytań lub jeśli wyrażasz chęć współpracy, skontaktuj się z nami na FundacjaCALMedu@grzegorzczekala.pl.

Zostaw swoją ocenę
Poprzedni Następny

W naszej ofercie także...


					Agencja reklamowa Dla firm

Agencja reklamowa

Jeśli nie masz mobilnej strony www to dla wielu nie istniejsz

Jeśli uważasz, że masz aż tak dobry produkt, że nie potrzebujesz go reklamować, to możesz mieć rację. Ale jeśli chcesz go sprzedać to bez strony internetowej daleko nie zajdziesz. Czy potrzebujesz stronę internetową ? W czasach gdy wszystko możesz znaleźć na Facebooku czy Instagramie, strona internetowa może wydawać się niepotrzebnym wydatkiem. Jednak na portalach internetowych […]


					Wdrożenia Dla firm

Wdrożenia

Dziś zdecyduj jak będzie wyglądać przyszłość Twojej firmy

Jeżeli potrzebują Państwo: napisanie lub modyfikację istniejącego programu na sterowniku PLC, przygotowanie lub rozbudowę systemu wizualizacji dla paneli HMI lub systemów SCADA, skomunikowanie nowych urządzeń w sieci Profinet lub Profibus, napisanie strony internetowej pod aplikację Web Serwer, rozbudowanie systemu o układ wizyjny i przeszukiwanie baz danych, dołożenie komunikacji poprzez sieć GSM, i wiele więcej, to […]


					Szkolenia Dla firm

Szkolenia

programowanie PLC i tworzenie wizualizacji HMI

Od 2014r. prowadzę liczne szkolenia z zakresu programowania sterowników PLC i systemów wizualizacji w największym w kraju Centrum Szkoleń Inżynierskich EMT Systems. Szkolenia odbywają się w okazałej zabytkowej siedzibie EMT Systems lub w firmach klientów na terenie całego kraju. Od 2020 roku większość szkoleń przeprowadzana jest także zdalnie na moim autorskim symulatorze. Poniżej lista tygodniowych […]


					Korepetycje dla przemysłu Dla firm

Korepetycje dla przemysłu

Więcej niż konsultacje, szybciej niż szkolenie

Korepetycje dla przemysłu to innowacyjna usługa na kryzysowe czasy lub ekspresowe zlecenia. Połączenie konsultacji, wdrożenia, modyfikacji istniejącego sytemu z spersonalizowanym szkoleniem. Dla kogo? Jeżeli z jakiś powodów nie możesz teraz posłać pracownika na pełne szkolenie (pakiet kilku szkoleń), a potrzebujesz go wyszkolić aby był w stanie wprowadzić modyfikacje w działającym systemie – to ta usługa […]

Subscribe
Powiadom o
guest
0 komentarzy
Inline Feedbacks
View all comments
Zamknij